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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Amérique du Sud}
\lfoot{\small novembre 1997}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Amérique du Sud novembre 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Appliquer le programme ci-contre
au nombre $\dfrac67$. 

On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\item Quel est le nombre de départ si le résultat est $\dfrac12$ ?
\end{enumerate}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Programme}\\ 
$\bullet~~$Choisir un nombre.\\
$\bullet~~$Le diviser par $\dfrac43$.\\
$\bullet~~$Ajouter $\dfrac13$ au résultat obtenu.\\
$\bullet~~$Donner le résultat.\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne:
\[A = \sqrt{12} + 5\sqrt{75} - 2\sqrt{27}\qquad B = \left(5 + \sqrt 3 \right)^2 - \left(2\sqrt 7 \right)^2.\]

Écrire $A$ sous la forme $a \sqrt 3$ et $B$ sous la forme $b \sqrt 3$, où $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne $D = (7 - 3x)^2 - 64$.

Factoriser $D$.
\item Résoudre l'équation $(15 - 3x)(- 3x - 1) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système : 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + y &=& 14\\
4x + 3y &=&48
\end{array}\right.\]

\item $6$ kg de confiture doivent être répartis dans $14$ pots ; certains contiennent $500$~g, d'autres $375$~g.

	\begin{enumerate}
		\item Si $x$ désigne le nombre de pots de 500 g et $y$ le nombre de pots de $375$ g, écrire un système d'équations traduisant les données précédentes.
		\item Vérifier que ce système se ramène au système résolu à la question 1.
		\item En déduire le nombre de potS de chaque sorte utilisés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.60\linewidth}
Observer la figure ci-contre puis recopier
et compléter les phrases suivantes (il n'est demandé aucune justification et il n'est
pas demandé de reproduire La figure).
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-2)(1.9,2)
\pspolygon(-1.6,0)(0,1.6)(1.6,0)(0,-1.6)%DBHF
\pspolygon(-1.6,1.6)(0,1.6)(0,-1.6)(1.6,-1.6)%CBFG
\pspolygon(-1.6,0)(-1.6,-1.6)(1.6,1.6)(1.6,0)%DEIH
\uput[l](-1.6,1.6){C} \uput[ur](0,1.6){B} \uput[ur](1.6,1.6){I} 
\uput[l](-1.6,0){D} \uput[ur](0,0.1){A} \uput[r](1.6,0){H} 
\uput[dl](-1.6,-1.6){E} \uput[dl](0,-1.6){F} \uput[dr](1.6,-1.6){G} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le symétrique de ABC par rapport à A est \ldots
\item L'image de D par la translation de vecteur $\vect{\text{CA}}$ est \ldots
\item ABD et \ldots{}  sont symétriques par rapport à la droite (AD).
\item $\vect{\text{DB}} + \ldots  {} =\vect{\text{DF}}$.
\item $\vect{\text{AB}} + \vect{\text{AH}} = \ldots$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
La figure ci-contre représente une pyramide à base carrée de $10$~cm de côté et de hauteur $8$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la valeur approchée par excès de son volume, à 1 cm$^3$ près, est $267$~cm$^3$.
\item En déduire le volume de la réduction de cette pyramide à l'échelle $\dfrac13$ (arrondir au cm$^3$ le plus proche).
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\begin{pspicture}(-2.7,-1)(2.7,4)
\psline(0,4)(-2.7,-1)(0.7,-1)(0,4)(2.7,1)(0.7,-1)
\psline[linestyle=dashed](0,4)(-0.7,1)(0.7,-1)
\pspolygon[linestyle=dashed](2.7,1)(-2.7,-1)(-0.7,1)
\psline[linestyle=dashed](0,4)(0,0)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC rectangle en B tel que AB $= 7$~cm
et BC $= 3$~cm.
\item  Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{A}}$ (donner la valeur arrondie au degré le plus proche).
\item  Le cercle de diamètre [AB] et de centre I coupe (AC) en E.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les droites (BE) et (AC) sone perpendiculaires.
		\item On trace par le point I la perpendiculaire à la droite (BE) qui coupe (BE) en J et (BC) en K.
		
Démontrer que J est le milieu de [BE].
		\item Démontrer que CE $= 2$JK.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur une feuille de papier millimétré, construire un repère orthonormal (O, I, J) tel que :
\begin{itemize}
\item l'origine O est placée en bas à gauche;
\item sur les deux axes on choisit $1$~cm pour unité.
\end{itemize}
		\item Placer les points A(2~;~8) et B(1~;~9).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $(\Delta)$ d'équation $y = 4x$.
		\item Vérifier que les points A et B appartiennent à la droite $(D)$ d'équation $y = 10 - x$.
		
Tracer la droite $(D)$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la droite $\left(\Delta'\right)$ passant par B et perpendiculaire à la droite (AB) a pour équation $y = x + 8$.
\item Calculer les coordonnées du point C, intersection des droites $(\Delta)$
et $\left(\Delta'\right)$. (On donnera les résultats sous forme fractionnaire.)
\end{enumerate}

\medskip

\medskip

\textbf{Deuxième partie : } description de la figure ci-dessous

\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture}(9.7,7.2)
%\psgrid
\psline(0,6.5)(9.6,6.5)
\psline(0,0.3)(9.6,0.3)
\pspolygon[fillstyle=hlines](1.2,0.3)(1.2,6.5)(3,0.3)
\psframe(1.2,0.3)(1.4,0.5)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.3,0.3)(0.3,6.5)\uput[l](0.3,3.4){8}
\uput[dl](1.2,0.3){Q} \uput[u](1.2,6.5){M} \uput[dr](3,0.3){R}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(1.2,0.1)(3,0.1)\uput[d](2.1,0.1){$x$}
\pspolygon[fillstyle=hlines](3.8,0.3)(3.8,6.5)(4.5,6.5)(4.5,1)(6.2,1)(6.2,0.3)
\psframe(3.8,0.3)(4,0.5)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(3.8,4.8)(4.5,4.8)\uput[u](4.15,4.8){1}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(5.3,1)(5.3,0.3)\uput[r](5.3,0.65){1}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(4.5,1.2)(6.2,1.2)\uput[u](5.35,1.2){$x$}
\pspolygon[fillstyle=hlines](6.9,0.3)(6.9,1.8)(8.4,4.4)(8.4,0.3)
\psframe(6.9,0.3)(7.1,0.5)\psframe(8.4,0.3)(8.2,0.5)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(6.6,0.3)(6.6,1.8)\uput[l](6.6,1.05){2}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(6.9,0.1)(8.4,0.1)\uput[d](7.65,0.1){2}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(8.6,4.4)(8.6,6.5)\uput[r](8.6,5.45){$x$}
\psline(8.4,4.4)(8.4,6.5)
\uput[ul](6.9,1.8){T} \uput[dl](6.9,0.3){S} \uput[dr](8.4,0.3){P} \uput[dr](8.4,4.4){U} \uput[u](8.4,6.5){N}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

Dans une bande de papier de $8$~cm de large on a découpé trois figures : 

\begin{itemize}
\item un triangle MQR rectangle en Q;
\item une partie en forme de L;
\item un trapèze SPUT rectangle en S et P.
\end{itemize}

Les dimensions sont portées sur les figures, l'unité de longueur est le centimètre.

Le nombre $x$ est un nombre positif inférieur à $8$ ($0 < x < 8$).

\emph{Le but du problème est de comparer les aires de ces trois figures.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer en fonction de $x$ :
	\begin{enumerate}
		\item l'aire $S_1$ du triangle MQR;
		\item l'aire $S_2$ de la partie en forme de L.
	\end{enumerate}
\item Montrer que l'aire $S_3$ du trapèze SPUT est égale à $10 - x$.
\item En utilisant uniquement le graphique de la première partie, répondre aux questions suivantes en justifiant chacune de vos réponses.
	\begin{enumerate}
		\item Les aires des trois objets peuvent-elles être égales ?
		\item Pour quelle valeur de $x$ l'aire du triangle est-elle égale à l'aire de l'objet en forme de L ?
		\item Si $1 < x < \dfrac83$, quel est l'objet qui a la plus grande aire ?
		\item Pour queUes valeurs de $x$ l'aire du trapèze est-elle la plus petite des trois ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}