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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Amérique su Sud}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Amérique du Sud novembre 2000 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne 
\begin{center}$A = \dfrac34 - \dfrac57 \times \dfrac{7}{16}$\quad et \quad $B=3 - 5\left(\dfrac15  - 1\right)^2.$\end{center}

Calculer $A$ et $B$ et donner chaque résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

Les calculs intermédiaires figureront sur la copie.

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\sqrt{588} = 14\sqrt 3$.
\item Soit $C = \sqrt{588} - \sqrt{12} - \sqrt{300}$.

Écrire $C$ sous la forme $a\sqrt 3$ où $a$ est un nombre entier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On donne 
\[D = (3x - 1)^2 - 16.\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$ puis calculer $D$ pour $x = \sqrt 2$.
\item Factoriser $D$.
\item Résoudre l'équation $3(x + 1)(3x - 5) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Le conseil général d'un département compte 60 élus.

Chacun d'eux représente l'un des trois partis A, B et C.
\begin{itemize}
\item Le parti A compte 15 élus ;
\item 45\,\% des élus appartiennent au parti B ;
\item le reste des élus représente le parti C.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le pourcentage des élus qui appartiennent au parti A.
\item Calculer le nombre d'élus du parti B.
\item Représenter par un diagramme circulaire de rayon 4 cm la répartition du conseil général entre les partis A, B et C.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormal (O, I, J), d'unité 1 cm, placer les points :
\begin{center}A$(-1~;~6)$\qquad  B$(-2~;~3)$\qquad   C$(5~;~4)$.\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les longueurs AB, AC.
		\item On admet que BC $= \sqrt{50}$.
		
Montrer que le triangle ABC est rectangle.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point E image du point C par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABEC ?

Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans la figure ci-dessous, les droites (AC) et (BD) se coupent en E.

L'unité de longueur est le millimètre.
On donne :

\begin{center}BC = 70,\quad BE = 60,\quad  EA = 16,\quad  ED = 24,\quad  EC = 40.\end{center}

\smallskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,5)
\pspolygon(4,4.7)(7,0)(0,0)(6.8,4.7)%ACBD
\uput[l](4,4.7){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](7,0){C} \uput[r](6.8,4.7){D} 
\uput[u](5,3.4){E}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
\item Calculer la longueur AD.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de diamètre [AB] mesurant 8cm.

Placer un point E sur ce cercle tel que l'angle $\widehat{\text{BAE}}$ mesure $52\degres$.
\item Montrer que le triangle AEB est rectangle.
\item Sur le demi-cercle d'extrémités A et B, qui ne contient pas E, placer un
point K.

Quelle est la valeur exacte des angles $\widehat{\text{EOB}}$ et $\widehat{\text{EKB}}$ ?

Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

Une famille, voulant devenir internaute, hésite entre trois fournisseurs d'accès à Internet. Ces trois fournisseurs proposent les tarifs suivants:

1\up{er} fournisseur: la société AMINET propose un forfait de $100$~F par mois pour un maximum de 20 heures de communications (au-delà de cette durée, il y a un supplément).

2\up{e} fournisseur: la société BELNET facture, sans abonnement, les communications proportionnellement à leur durée sur la base de $15$~F de l'heure.

3\up{e} fournisseur: la société COOLNET propose un abonnement à $50$~F par mois auquel s'ajoutent les communications proportionnellement à leur durée sur la base de $5$~F de l'heure.

Pour ses débuts d'internaute, cette famille pense que son nombre d'heures de communications Internet ne dépassera pas $20$~heures par mois.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous permettant de mieux comparer les coûts.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre d'heures de connexion&0 &10 & 20\\ \hline
Société AMINET&&&\\ \hline
Société BELNET&&&\\ \hline
Société COOLNET&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On note $x$ la durée totale, exprimée en heures, des communications à Internet de cette famille avec : $0 \leqslant x \leqslant 20$.

On appelle $f$ et $g$ les fonctions qui permettent de calculer les montants facturés respectivement pa; les sociétés AMINET et BELNET pour la durée $x$ des communications.

Donc : 

\quad la fonction $f$ est définie par : $x \longmapsto 100$ ;

\quad la fonction $g$ est définie par : $x \longmapsto 15x$.
	\begin{enumerate}
		\item On appelle $h$ la fonction qui permet de calculer le montant de la facture de la société Coolnet pour la durée $x$ des communications.
		
Exprimer ce montant en fonction de $x$.
		\item Représenter graphiquement dans un même repère orthogonal les trois fonctions $f, g$ et $h$.
		
On prendra pour unités : sur l'axe des abscisses 1~cm pour 2~heures, sur l'axe des ordonnées 1~cm pour 20~francs, et on fera figurer sur la copie les explications utiles à ces représentations graphiques.
	\end{enumerate}
\item Répondre aux questions a. et b. suivantes en utilisant le graphique.

Aucun calcul n'est demandé mais les traits de construction utiles devront apparaître.
	\begin{enumerate}
		\item Quels sont les montants des factures pour $15$~heures de communications avec les sociétés AMINET, BELNET et COOLNET ?
		\item Quelle durée de communication correspond à une facture de $120$~F de la société COOLNET ?
	\end{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation :
\[15x < 50 + 5x.\]

Comment peut-on interpréter la réponse ?
\item En observant le graphique, indiquer la société que vous conseillez selon la durée de communication à Internet.
\end{enumerate}
\end{document}