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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{8 juin 2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Nord 8 juin 2012~\decofourright}}

\vspace{0,5cm}

 L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

 \end{center}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Quatre affirmations sont données ci-dessous. 

\medskip

\textbf{Affirmation 1 :} $\dfrac{1}{8}$ est un nombre décimal.

\medskip
  
\textbf{Affirmation 2 :} 72 a exactement cinq diviseurs.

\medskip
 
\textbf{Affirmation 3 :} Si $n$ est un entier, $(n - 1) (n + 1) + 1$ est toujours égal au carré d'un entier.

\medskip
 
\textbf{Affirmation 4 :} Deux nombres impairs sont toujours premiers entre eux.

\medskip
 
Pour chacune, indiquer si elle est vraie ou fausse en argumentant la réponse. 

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip 
Deux classes du collège ont répondu à la question suivante :
 
\og Combien de livres avez-vous empruntés durant les 12 derniers mois ? \fg

Les deux classes ont communiqué les réponses de deux façons différentes :
 
\begin{tabular}{l l}
Classe \no 1 :& 1~;~2~;~ 2~;~2~;~2~;~3~;~3~;~3~;~3~;~3~;~3~;~3~;~3~;~6~;~6~;~ 6~;~6~;~6~;~7~;~7~;~7\\
\end{tabular} 

\begin{tabular}{l l r}
Classe \no 2 :& Effectif total :& 25\\ 
	&Moyenne : 	&4\\ 
	&Étendue : 	&8\\ 
	&Médiane : 	&5\\
\end{tabular}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Comparer les nombres moyens de livres empruntés dans chaque classe. 
\item Un \og  grand lecteur \fg{} est un élève qui a emprunté 5 livres ou plus.
 
Quelle classe a le plus de \og  grands lecteurs \fg{}? 
\item Dans quelle classe se trouve l'élève ayant emprunté le plus de livres ?
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
Léa observe à midi, au microscope, une cellule de bambou. 

Au bout d'une heure, la cellule s'est divisée en deux. On a alors deux cellules. 

Au bout de deux heures, ces deux cellules se sont divisées en deux.
 
Léa note toutes les heures les résultats de son observation.
 
À quelle heure notera-t-elle, pour la première fois, plus de 200 cellules ?
 
\emph{Vous laisserez apparentes toutes vos recherches.\\
 Même si le travail n'est pas terminé, il en sera tenu compte dans la notation.} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités g\'eométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,2.5)
\psdots(0.7,0)(3.9,0)(1.3,1.8)(3.3,1.8)(2.3,1.1)
\psline(0.7,0)(3.3,1.8)(1.3,1.8)(3.9,0)
\psline[linewidth=1.5pt](1.3,1.8)(3.3,1.8)
\uput[d](0.7,0){A}\uput[d](3.9,0){B}\uput[u](1.3,1.8){C}\uput[u](3.3,1.8){D}
\uput[u](2.3,1.1){G}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(4.5,0)
\end{pspicture}
\end{center}
 
On a modélisé géométriquement un tabouret pliant par les segments [CB] et [AD] pour l'armature métallique et le segment [CD] pour l'assise en toile. 

On a CG = DG = 30 cm, AG = BG = 45 cm et AB = 51 cm.
 
Pour des raisons de confort, l'assise [CD] est parallèle au sol représenté par la droite (AB). 

\medskip

Déterminer la longueur CD de l'assise.
 
\emph{Vous laisserez apparentes toutes vos recherches. 
Même si le travail n'est pas terminé, il en sera tenu compte dans la notation.}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
\parbox{0.65\linewidth}{On considère un sablier composé de deux cônes identiques 
de même sommet C et dont le rayon de la base est AK = 1,5~cm. Pour le protéger, il est enfermé dans un cylindre de hauteur 6~cm et de même base que les deux cônes.
\begin{enumerate}
\item On note V le volume du cylindre et V$_{1}$ le volume du sablier.
 
Tous les volumes seront exprimés en cm$^3$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la valeur exacte du volume V du cylindre est $13,5 \pi$. 
		\item Montrer que la valeur exacte de V$_{1}$ est $4,5 \pi$. 
		\item Quelle fraction du volume du cylindre, le volume du sablier occupe-t-il ?\\
		 (On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.29\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(4.5,7)
\scalebox{.99}[0.35]{\psarc(2,2.175){2}{180}{0}}%
\scalebox{.99}[0.35]{\psarc[linestyle=dashed](2,2.175){2}{0}{180}}%
\psellipse(2,6)(2,0.65)
\pspolygon(0,0.875)(4,6)(4,0.875)(0,6)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,3.45)(3,4.7)(1,4.7)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,4.7)(1,0.23)
\uput[l](2,3.45){C}\uput[u](2,6){A}
\psdots(2,0.7)(2,6)
\uput[u](2,0.7){O}\uput[r](4,6){K}
\end{pspicture}}

\medskip
 
\emph{Rappel :} La formule du volume du cône est :  $\dfrac{\text{aire de la base} \times  \text{hauteur}}{3}$
 
\begin{enumerate}
\item[\textbf{2.}] On a mis 12 cm$^3$ de sable dans le sablier.
 
Sachant que le sable va s'écouler d'un cône à l'autre avec un débit de 240~cm$^3$/h, quel temps sera mesuré par ce sablier ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip 

\parbox{0.55\linewidth}{Construire un carré dont l'aire est égale à la somme des aires des deux carrés représentés ci-contre. 

\emph{Vous 	laisserez 	apparentes 	toutes 	vos 
recherches.\\ 
Même si le travail n'est pas terminé, il en sera tenu compte dans la notation}.}
\hfill
\parbox{0.43\linewidth}{
\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(6,4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.0075,0)(6,4)
\rput(1,1){4~cm$^2$}
\psline(1.9,0.9)(2.1,1.1)
\psline(1.9,1)(2.1,1.2)
\psline(1.9,2.9)(2.1,3.1)
\psline(1.9,3)(2.1,3.2)
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip 

Dans un collège de Caen (Normandie) est organisé un échange avec le Mexique pour les élèves de 3\up{e} qui étudient l'espagnol en seconde langue.

\medskip
 
\textbf{Partie 1 -  L'inscription des élèves}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous permet de déterminer la répartition de la seconde langue étudiée par les 320 élèves de 4\up{e} et de 3\up{e} de ce collège.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|m{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Seconde langue étudiée	&4\up{e}	&3\up{e} 	&Total\\ \hline\hline 
Espagnol				&84			&			& \\ \hline
Allemand 				&22 		&24 		&\\ \hline
Italien 				&62 		&50			& \\ \hline
Total 					&			&			&320\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Combien d'élèves peuvent être concernés par cet échange ? 
\item 24 élèves vont participer à ce voyage.
 
Est-il vrai que cela représente plus de 12\,\% des élèves de 3\up{e}?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie II - Le financement}

\medskip

Afin de financer cet échange, deux actions sont mises en {\oe}uvre : un repas mexicain et une tombola.

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Le repas mexicain, où chaque participant paye 15~\euro. 

Au menu, on trouve un plat typique du Mexique, le \emph{Chili con carne}.

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\multicolumn{2}{|c|}{\large Recette pour 4 personnes}\\ \hline\hline 
50~g de beurre &500~g de b{\oe}uf haché\\ 
2 gros oignons &65~g de concentré de \\ 
2 gousses d'ail&tomate \\ 
30~cl de bouillon de b{\oe}uf&400~g de haricots rouges\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
 
50 personnes participent à ce repas. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la quantité de b{\oe}uf haché, de haricots rouges, d'oignons et de concentré de tomate nécessaire. 
		\item Les dépenses pour ce repas sont de 261~\euro, quel est le bénéfice ? 
	\end{enumerate}
\item La tombola, où 720~tickets sont vendus au prix de 2~\euro.
 
Les lots sont fournis gratuitement par trois magasins qui ont accepté de sponsoriser le projet.

Il y a trois lots à gagner : un lecteur DVD portable, une machine à pain et une mini-chaîne Hifi. 

Un élève achète un ticket. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle probabilité a-t-il de gagner l'un des lots ? 
		\item Quelle probabilité a-t-il de gagner la mini-chaîne Hifi ?
	\end{enumerate} 
\item Montrer que la somme récupérée par les deux actions est de \np{1929}~\euro.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie II - Le voyage}

\medskip

Le voyage se décompose en deux parties : le trajet Caen-Paris (256~km) se fait en bus puis le trajet Paris-Mexico (\np{9079}~km) en avion.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le prix d'un billet d'avion aller-retour coûte 770,30~\euro{} par personne. 

L'argent récolté par le repas mexicain et la tombola permet de réduire équitablement ce prix pour les 24 élèves participants. 

Quelle est la participation demandée par élève pour les billets d'avion ? (arrondir à l'unité) 
\item Le décollage se fait à 13~h~30. Cependant, les élèves et les accompagnateurs doivent être impérativement à l'aéroport de Paris-Roissy à 11~h~30.
 
On estime la vitesse moyenne du bus à 80~km/h.

Jusqu'à quelle heure peut-il partir de Caen ? 
\item L'avion arrive à Mexico à 17~h~24 heure locale. Il faut compter 7 heures de décalage avec la France. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la durée du trajet ? 
		\item Quelle est la vitesse moyenne de l'avion ? (arrondir à l'unité) 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}