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%Sujet aimablement fourni par Denis Le Fur et Christelle Tomasini
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{24 novembre 2011}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\textbf{DurŽée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Sud~\decofourright\\24 novembre 2011}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisŽée.

\end{center}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Cet exercice est un exercice à  choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapportera $1$ point.

L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retirera aucun point.

Indiquer, sur la copie, le numéro de la question et la réponse.

\begin{center}\textbf{Aucune justification n'est demandée} \end{center}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
  & Questions & Réponse A & Réponse B & Réponse C \\ \hline
1 &\rule[-2mm]{0mm}{7mm} $-5\sqrt{2}+\sqrt{8}=\cdots$  & $-3\sqrt{2}$ & $-4,243$ & $-5\sqrt{10}$\\ \hline 
2 & Un carré de côté $3\sqrt{2}$ a pour aire : & $6$ & $12\sqrt{2}$ & $18$\\ \hline 
3 & L'expression factorisée de $x^2-16$ &n'existe pas & est $(x-4)(x+4)$ & est $(x-4)^2$ \\ \hline 
4 & Les solutions de l'inéquation $-2x-1<3$ sont les nombres $x$ tels que : & $x<-2$& $x>-2$ & $x>-1$ \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On propose deux programmes de calcul :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}
\hline
\multicolumn{1}{|c|}{Programme A}&\multicolumn{1}{c|}{Programme B}\\
\hline
\begin{itemize}
\item Choisir un nombre.
\item Ajouter $3$.
\item Calculer le carré du résultat obtenu.
\end{itemize}
&
\begin{itemize}
\item Choisir un nombre.
\item Soustraire $5$.
\item Calculer le carré du résultat obtenu.
\end{itemize}\\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit $1$ comme nombre de départ.
	\begin{enumerate}
	\item Quel résultat obtient-on avec le programme A ?
	\item Quel résultat obtient-on avec le programme B ?
	\item Peut-on en  déduire que ces deux programmes de calcul conduisent toujours aux mêmes résultats pour un même nombre de départ ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme A soit $0$ ?
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}

Quel(s) nombre(s) de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme B soit $9$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un sac contient $6$ jetons rouges et $2$ jetons jaunes. On tire au hasard, chacun des jetons ayant la même probabilité d'être tiré, un jeton.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de tirer un jeton rouge.
\item Calculer la probabilité de tirer un jeton jaune.
\item On ajoute dans ce sac des jetons verts. Le sac contient alors $6$ jetons rouges, $2$ jetons jaunes et les jetons verts. On tire un jeton au hasard.

Sachant que la probabilité de tirer un jeton vert est égale à  $\dfrac{1}{2}$, calculer le nombre de jetons verts.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à  choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée.\\
Pour  chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte.\\
Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.\\
Pour chacune des $3$ questions, indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse correcte.}\\

Pour répondre aux questions, observer la figure ci-dessous :\\

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(18.5,6.2)
\psline(7.6,0.4)(3.4,0)(0,1.8)(6.2,2.3)
\psline(11,0.7)(18.3,1.3)(14.8,3.1)(12.1,2.9)
\psarc(9.1,3){2.85}{-25}{217}
\psarc[linestyle=dashed](9.1,3){2.85}{217}{254}
\psarc(9.1,3){2.85}{254}{304}
\psarc[linestyle=dashed](9.1,3){2.85}{304}{336}
\rput{6}(9.2,1.6){\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0)(2.5,0.35){180}{0}}
\rput{6}(9.2,1.6){\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=dashed](0,0)(2.5,0.35){0}{180}}
\rput{6}(9.1,3){\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0)(2.85,0.4){180}{0}}
\rput{6}(9.1,3){\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=dashed](0,0)(2.85,0.4){0}{180}}
\psline[linestyle=dashed](8.9,6.)(9.3,0.1)
\psdots[dotscale=0.75](9.1,3)(9.15,2.3)(9.2,1.6)(11.2,2)
\psline[linestyle=dashed](9.2,1.6)(11.2,2)(9.1,3)
\uput[r](9.1,3){\footnotesize O} \uput[r](9.15,2.3){\footnotesize R} \uput[r](9.2,1.6){\footnotesize H} \uput[ur](11.2,2){\footnotesize M}
\rput(3.5,0.6){$\mathcal{P}$} 
\end{pspicture}
\end{center} 



\begin{itemize}
\item O est le centre de la sphère,
\item le plan ${\cal P}$ coupe la sphère suivant un cercle de centre H,
\item M est un point de ce cercle,
\item R est le milieu de [OH].\\
\end{itemize}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}

\hline
\textbf{1.} & Le point R appartient ...  & à  la sphère de centre O et de rayon OM. & à  la boule de centre O et de rayon OM. & au plan ${\cal P}$.\\ 
\hline 
\textbf{2.} & La distance du point O au plan ${\cal P}$ est ... & OM & OR & OH
\\ \hline 
\textbf{3.} & Si OM = 11,7~cm et HM = 10,8~cm, alors OH = $\cdots$ &
4,5~cm & 1,2~cm & 20,25~cm \\ 
\hline 

\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

ABC est un triangle rectangle en A tel que CB = 7~cm et AB = 3~cm.

On appelle I le milieu du segment [CB].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Réaliser une figure en vraie grandeur.
\item Calculer la longueur exacte du segment [AC]. En donner la valeur arrondie au millimètre près.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ arrondie à  $0,1\degres$ près.
\item Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC. En préciser le centre et le rayon.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{AIB}}$ au degré près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{
On considère la figure ci-contre sur laquelle les dimensions ne sont pas respectées.

On ne demande pas de reproduire la figure. L'unité de longueur est le centimètre.

Les points A, B et D sont alignés ainsi que les points C, B et E.

AB = 12 ; AC = 9 ; BC = 15 ; 

DB = 8,4 ; BE = 10,5.}\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-4)(8,3)
\pspolygon(0,0)(7.5,0)(7.5,2.3)(0,-3.3)
\uput[ul](0,0){A} \uput[ul](4.5,0){B} \uput[dl](0,-3.3){C} \uput[dr](7.5,0){D} \uput[ur](7.5,2.3){E}
\uput[u](2.25,0){12} \uput[d](6,0){8,4}\rput{40}(6,1.45){10,5}
\rput{40}(2.25,-1.95){15}\uput[l](0,-1.65){9}
\end{pspicture}
\end{center}}

\begin{enumerate}
\item Montrer que les droites (AC) et (ED) sont parallèles.
\item Calculer la longueur du segment [ED].
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip 

De façon à  récupérer l'eau de pluie de son toit, Lucas décide d'installer un récupérateur d'eau dans le sol de son jardin. La profondeur dont il dispose est de $2,5$~m.

Un fabricant lui propose alors les deux modèles de réservoirs schématisés ci-dessous.

Les dimensions sont en mètres.

Le premier modèle a la forme d'un pavé droit, le deuxième est de forme cylindrique : dans chaque cas, $x$ peut varier entre 0,5~m et 1,5~m.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(7,4)
\psframe(0,0)(5,2.6)
\psline(5,0)(6.8,0.9)(6.8,3.5)(5,2.6)
\psline(6.8,3.5)(1.8,3.5)(0,2.6)
\uput[r](6.8,2.2){2,5}\uput[u](4.3,3.5){3}\uput[ul](0.9,3.05){$x$}
\rput(3.4,-0.5){Réservoir $R_1$}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(6,4)
\psline(0,0.4)(0,2.7)\psline(5.2,0.4)(5.2,2.7)
\psellipse(2.6,2.7)(2.6,0.525)
\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=dashed](2.6,0.4)(2.6,0.525){0}{180}
\psellipticarc[fillstyle=solid,fillcolor=white](2.6,0.4)(2.6,0.525){180}{0}
\uput[r](5.28,1.45){2,5}
\psline(2.6,2.7)(4.5,3.05)
\uput[u](3.55,2.8){$x$} \rput(2.5,-1){Réservoir $R_2$}
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau fourni en annexe. \emph{Les détails des calculs des valeurs exactes devront figurer sur votre copie.}
\item 
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que l'expression, en fonction de $x$, du volume du réservoir $R_1$ est : $7,5x$.
	\item Montrer que l'expression, en fonction de $x$, du volume du réservoir $R_2$ est : $2,5\pi x^2$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $ f_1~:~x \longmapsto 7,5x$. Préciser la nature de cette fonction.
\item Pour les valeurs de $x$ comprises entre $0,5$ et $1,5$, la fonction  $ f_2~:~x \longmapsto 2,5\pi x^2$	est déjà  représentée sur le graphique fourni en annexe.

Sur ce même graphique, représenter la fonction $f_1$.
\item Répondre aux questions suivantes à  l'aide du graphique.

\emph{On répondra par des valeurs approchées et on fera apparaître les traits de construction permettant la lecture sur le graphique.}

	\begin{enumerate}
		\item Quel est la valeur du réservoir $R_2$ pour $x = 0,8$~m ?
		\item Quel est le rayon du réservoir $R_2$ pour qu'il ait une contenance de $10~\text{m}^3$ ?
		\item Quel est l'antécédent de $9$ par la fonction $f_1$ ? Interpréter concrètement ce nombre.
		\item Pour quelle valeur de $x$ les volumes des deux réservoirs sont-ils égaux ?
		\item Pour quelles valeurs de $x$ le volume de $R_1$ est-il supérieur à  celui de $R_2$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ATTENTION :  CETTE FEUILLE EST  RENDRE AVEC LA COPIE}
\end{center}

Problème-Question 1

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|m{3.75cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{Longueur $x$ (en $m$)} &  $0,5$ & $1,2$ \\ \hline
\multicolumn{2}{|l|}{Volume du réservoir $R_1$ (en m$^3$)} & & \\ \hline
Volume du réservoir  & Valeur exacte & & \\ \cline{2-4}
$R_2$ (en m$^3$) & Valeur arrondie à  $0,1~m^3$ & & \\ \hline
\end{tabularx}


\vspace{2cm}

\psset{xunit=7cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-1)(1.6,18)
\multido{\n=0.0+0.1}{17}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,18)}
\multido{\n=0+1}{19}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(1.6,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1.6,18)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1.6,18)
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.5}{1.5}{x dup mul 2.5 mul 3.1412596 mul}
\end{pspicture}
\end{document}