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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Amérique du Sud}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amérique du Sud novembre 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne : $A = 1 + \dfrac13$\:;\quad  $B = 1 - \dfrac13$.

Prouver que $A = 28$.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit : $X = x^2 - 9$ ; \quad $Y = 2x + 6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $X + Y$.
\item Pour quelles valeurs du réel $x$, $X$ et $Y$ sont-ils des nombres opposés ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Une classe de $30$ élèves effectue un voyage. 

Le coût du voyage s'élève à \np{19000}~F{}.

Le financement s'effectue ainsi :

\begin{itemize}
\item une subvention allouée par la mairie ;
\item une participation des parents représentant quatre fois celle de la mairie ;
\item un apport de la coopérative scolaire correspondant au tiers de celle des parents.
\end{itemize}

Calculer le montant des participations décrites ci-dessus.

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire les points A, B, C tels que AB $= 3$\:; AC $= 4$\:; BC $= 6$\: (en cm).
\item On définit le point M par : $3\vect{\text{AM}} = \vect{\text{AB}} - \vect{\text{AC}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point M.
		\item Que dire de (AM) et (BC) ? Le prouver.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne un triangle isocèle OVE tel que OV = OE.

Soit R le symétrique de V par rapport à O et I le point tel que O soit le milieu de [IE].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la figure.
\item Quelle est la nature du quadrilatère RIVE? Justifier.
\item On choisit $\left(\text{I},~ \vect{\text{IV}},~\vect{\text{IR}}\right)$ comme repère du plan.

Écrire les coordonnées des points R, I, V, E dans ce repère.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

On considère les applications $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par:

\begin{center} $f(x) = \dfrac x2 + 2$\qquad et $g(x)= - 2x + 17$\end{center}

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$, l'équation $f(x) = 1$.
\item Dans le même repère orthonormé, construire la droite $D_1$ représentant l'application $f$, puis la droite $D_2$ représentant l'application $g$.
\item Résoudre par le calcul le système suivant où $x$ et $y$ sont des nombres réels :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
2y- x &=& 4\\
y +2x &=& 17.
\end{array}\right.\]

Comment peut-on utiliser le graphique précédent pour vérifier l'exactitude de la solution trouvée par le calcul ?
\item Les droites $D_1$ et $D_2$ sont-elles perpendiculaires ?  Justifier la réponse.
\item On considère un terrain rectangulaire. 

Si l'on pose du grillage sur deux longueurs et une largeur, il faut 17 décamètres de grillage. 

Si l'on ajoute 4 décamètres à la longueur et si l'on enlève 2 décamètres à la largeur, l'aire n'est pas modifiée.

Quelles sont les dimensions du terrain ?
\end{enumerate}
\end{document}