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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Amérique du Nord}
\lfoot{\small juin 2000}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{ \decofourleft~Brevet Amérique du Nord juin 2000~\decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 }

\medskip

On pose :
\begin{center}$A = \dfrac57 + \dfrac{5}{21} \times \dfrac{9}{25}, \quad B = \dfrac{25}{17} :   \dfrac{15}{24} - \dfrac{11}{3}, \quad C = \dfrac{6 \times 105 \times \left(10^{-2}\right)^4}{15 \times 10^2}$\end{center}

\begin{enumerate}
\item Exprimer $A$ et $B$ sous forme de fractions irréductibles (détailler les calculs).
\item Donner l'écriture scientifique de $C$ (détailler les calculs).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On sait que 
\[A(x) =(x - 2)^2 - (x - 1)(x - 4).\]

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau ci-dessous :
\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|c|}\hline
$x$	& $x - 2$&$(x - 2)^2$&$x - 1$& $x - 4$	&$(x - 1)(x - 4)$	&$A(x)$\\ \hline
10	&		&			&		&			&					& \\ \hline 
100	&		&			&		&			&					& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Développer et réduire $A(x)$.
\item Utiliser ce qui précède pour trouver la valeur de $x$ permettant de calculer facilement : 
\[\np{1234}^2 - \np{1235} \times \np{1232}.\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un collège décide d'organiser une épreuve sportive pour tous les élèves. 

Les professeurs constituent le plus grand nombre possible d'équipes.

Chaque équipe doit comprendre le même nombre de filles et le même nombre de garçons.

Sachant qu'il y a $294$ garçons et $210$ filles, quel est le plus grand nombre d'équipes que l'on peut composer ? 

Combien y a-t-il de filles et de garçons dans chaque équipe ?

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 }

\medskip

Des amateurs de skateboard construisent un tremplin de $2$~m de haut pour pratiquer leur sport.

Voici un croquis rapide de leur tremplin.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,4.5)
\psline(0,0.3)(1.8,0.3)(7.4,4.1)(8.8,4.1)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](1.8,0.3)(8.8,0.3)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](7.4,0.3)(7.4,4.1)
\psframe(7.4,0.3)(7.2,0.5)
\psarc(1.8,0.3){0.6}{0}{36}
\uput[d](1.8,0.3){A} \uput[d](7.4,0.3){H} \uput[u](7.4,4.1){B}
\rput(2,3){AH = 5 m}
\rput(2,2.5){BH = 2 m}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Faire la figure à l'échelle $\dfrac{1}{100}$.
\item Calculer l'arrondi au centimètre de la longueur AB de la planche.
\item Calculer l'arrondi au degré de l'angle que fait la planche avec le sol.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Sur le document ci-dessous, on a représenté un bateau sur l'eau avec
son reflet.

Le niveau de l'eau est représenté par la droite $(xx')$.

\begin{center}
\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(0,-12)(34,12)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt]
\psline[linewidth=1.25pt](0,0)(34,0)\uput[d](0.5,0){$x$}\uput[d](33.5,0){$x'$}
\pspolygon[linewidth=1.25pt](7,0)(3,3)(9,10)(12,3)(11,0)(12,-3)(9,-10)(3,-3)
\psline[linewidth=1.25pt](3,3)(12,3)\psline[linewidth=1.25pt](3,-3)(12,-3)
\psline[linewidth=1.25pt](9,3)(9,10)\psline[linewidth=1.25pt](9,-3)(9,-10)
\rput(9,1){Bateau}\rput(9,-1){Reflet}
\uput[l](3,3){A} \uput[ul](9,10){B} \uput[ul](9,3){C} \uput[r](12,3){D}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la transformation qui permet d'obtenir le reflet du bateau ?
\item Sur ce document, construire l'image du bateau, sans son reflet, par la translation de vecteur AD.
\item Soit $s$ la symétrie de centre A et $s'$ la symétrie de centre D.

Par quelle transformation peut-on remplacer  la symétrie $s$ suivie de la symétrie $s'$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Pour trouver la hauteur BD d'un arbre, on dispose des renseignements suivants :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] HA $= 1$ m, \quad BH $= 5$ m \quad et \quad OH $= 0,9$ m.
\item[$\bullet~$] Les points A, H B sont alignés, ainsi que les points O, A et D.
\item[$\bullet~$] Les angles $\widehat{\text{AHO}}$ et $\widehat{\text{ABD}}$ sont droits.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.7,3.8)
%\psgrid
\psline(0,0.3)(7.6,0.3)(0,3.3)
\psline(4.9,0.3)(4.9,1.38)\psline(0.7,0.3)(0.7,3.3)
\pscurve[linecolor=green](0.8,0.3)(0.85,0.8)(1.2,1.5)(1.3,1.9)(1.2,2.4)(1,2.8)(0.7,3)(0.4,2.6)(0.35,2)(0.55,1.2)(0.6,0.8)(0.6,0.3)
\psframe(4.9,0.3)(5.1,0.5)\psframe(0.7,0.3)(0.9,0.5)
\uput[d](7.6,0.3){A} \uput[d](0.7,0.3){B} \uput[u](0.7,3){D} \uput[d](4.9,0.3){H} \uput[u](4.9,1.38){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (OH) et (BD) sont parallèles.
\item Calculer la hauteur de l'arbre.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Sur une feuille de papier millimétré, construire un repère orthogonal en plaçant l'origine en bas à gauche.

Prendre sur l'axe des abscisses 1 cm pour 5 unités, sur l'axe des ordonnées 1 cm pour $20$ unités.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire les représentations graphiques des fonctions suivantes:

\begin{center}$p : x \longmapsto  2,5x$\qquad et \qquad $p' : x \longmapsto 20 + 2x$.\end{center}

On se limitera aux valeurs positives de $x$.

Les deux représentations graphiques se coupent en A.
\item Trouver graphiquement les coordonnées de A en utilisant des pointillés.
\item Retrouver par le calcul les coordonnées de A.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Afin de financer de nouvelles activités, les élèves du collège décident d'organiser la vente de petits pains.

Ils ont le choix entre deux tarifs : 

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 1\up{er} tarif : prix du petit pain : $2,50$ F{}.
\item[$\bullet~$] 2\up{e} tarif : chaque élève verse une cotisation de $20$~F{}, puis chaque petit pain sera payé $2$~F{}.
\end{itemize}

Soit $x$ le nombre de petits pains achetés par un élève.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire, en fonction de $x$, le prix payé par l'élève pour chaque tarif.
\item En utilisant le graphique, indiquer à partir de combien de petits pains le 2\up{e} tarif est le plus intéressant.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le tableau ci-dessous indique le nombre de petits pains vendus chaque jour pendant quatre semaines.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter ce tableau.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\cline{2-7}
\multicolumn{1}{c|}{~}&Lundi &Mardi &Mercredi &Jeudi &Vendredi&  Total\\ \hline
Semaine \no 1& 120& 150&80&150& 120& \\ \hline
Semaine \no 2& 125& 150&&145& 130& 625\\ \hline
Semaine \no 3& 130& 145&90& 135&& 620\\ \hline
Semaine \no 4& & 150&& 160&120& \\ \hline
Total 		 &495 & &330 && &\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Finalement, les délégués d'élèves adoptent un 3\up{e} tarif : $2,30$~F le petit pain.

Sachant que le prix d'achat d'un petit pain est de $2$~F{}, quel est alors le bénéfice réalisé la première semaine ?
\item Sachant que la vente dure $30$ semaines et que les élèves ont besoin de \np{7200}~F pour réaliser leur projet, combien doivent-ils vendre, en moyenne, de petits pains par semaine ?
\end{enumerate}
\end{document}