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%Sujet aimablement fourni par Denis Le Fur et Christelle Tomasini
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{novembre 2012}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Sud~\decofourright\\novembre 2012}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapporte 1 point. L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retire aucun point.\\ 
Aucune justification n'est demandée.\\ 
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\textbf{1.}& Quelle est l'expression développée de  $(3x + 5 )^2$ ?& 
$9x^2 + 15x + 25$& $9x^2 + 25$& $9x^2+ 30x + 25$\\ \hline 
\textbf{2.}& Quelle est l'expression factorisée de $16x^2 - 49$ ?&$(4x - 7)^2$& $(4x + 7)(4x - 7)$& $(16x + 7)(16x - 7)$\\ \hline 
\textbf{3.}&Quelle est la valeur exacte de $\dfrac{\sqrt{48}}{2}$ ?& $\sqrt{24}$& 
$3,64$& $2\sqrt{3}$\\ \hline 
\textbf{4.}& La fonction \qquad \qquad$f\:: x \longmapsto 5 - 4x$ est &linéaire &affine &ni linéaire, ni affine\\ \hline 
\textbf{5.}&L'écriture scientifique de \np{65100000} est& $6,51 \times  10^7$& 
$651 \times 10^5$ & $6,51 \times 10^{- 7}$\\ \hline
\end{tabularx} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Pour gagner le gros lot dans une fête foraine, il faut d'abord tirer une boule rouge dans une urne, puis obtenir un multiple de trois en tournant une roue.

\medskip

\parbox{0.65\linewidth}{\begin{enumerate}
\item L'urne contient 6 boules vertes, 5 boules blanches et des boules rouges. 

Le responsable annonce \og 50\,\% de chances de tirer une boule rouge \fg. 

Combien y a-t-il de boules rouges dans l'urne ? 
\item On fait maintenant tourner la roue séparée en 8 secteurs numérotés de 1 à 8 comme indiqué ci-contre.
 
Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 3 ? 
\item Pierre décide de participer au jeu.
 
Quelle est la probabilité qu'il gagne le gros lot ?\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.32\linewidth}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2.5)
\pscircle(0,0){2}
\multido{\n=40+45}{9}{\psline(0;0)(2;\n)}
\multido{\na=1+1,\nb=66.5+45.0}{8}{\rput(1;\nb){\na}}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0;0){0.5}
\psline[linewidth=1.5pt,\arrowsize=2.5pt 3]{->}(0,2.5)(0,1.7)
\end{pspicture}
}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les nombres $555$ et $240$ sont-ils premiers entre eux ? Justifier.
\item Écrire la fraction $\dfrac{240}{555}$ sous la forme la plus simple possible. Expliquer la démarche. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
\parbox{0.49\linewidth}{Pierre vient d'acheter un terrain dont on peut assimiler la forme à la figure ci-contre :
 
Il souhaite mettre du gazon sur tout le terrain. Pour cela il veut acheter un produit qui se présente en sac de 15~kg où il est écrit \og 1 kg pour 35 m$^2$ \fg.
 
\begin{enumerate}
\item Combien de sacs de gazon devra-t-il acheter? 
\item De plus, il voudrait grillager le contour de son terrain. Il dispose de 150~m de grillage, est-ce suffisant ? Justifier. 
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.43\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,5.2)
\pspolygon(0,0)(4.8,0)(2,4.8)(0,4.8)
\psline[linestyle=dashed](2,4.8)(2,0)
\psframe(0,0)(0.3,0.3) \psframe(2,0)(1.7,0.3)\psframe(2,4.8)(1.7,4.5)\psframe(0,4.8)(0.3,4.5)
\uput[u](1,4.8){20 m}\uput[l](0,2.4){40 m} \uput[d](2.4,0){50 m}
\uput[u](0,4.8){A} \uput[u](2,4.8){B} \uput[ur](4.8,0){C} \uput[ur](2,0){D} \uput[ul](0,0){E}
\psline{<->}(0,-0.5)(4.8,-0.5) 
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.51\linewidth}{Deux bateaux sont au large d'une île et souhaitent la rejoindre pour y passer la nuit. On peut schématiser leurs positions A et B comme indiquées ci-contre. Ils constatent qu'ils sont séparés de 800~m, et chacun voit l'île sous un angle différent.
 
Déterminer, au m près, la distance qui sépare chaque bateau de l'île.}
\hfill
\parbox{0.39\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,3.5)
\pspolygon(0,2.8)(4.5,2.8)(3.2,0.5)
\uput[u](0,2.8){A}\uput[u](4.5,2.8){B}\uput[d](3.2,0.5){I (\^{\i}le)}
\uput[u](2.25,2.8){800 m}\uput[dr](0.35,2.84){35\,\degres}\uput[dl](4.3,2.65){55\,\degres}
\pswedge(0,2.8){4mm}{-33}{0}\pswedge(4.5,2.8){4mm}{180}{234}
\end{pspicture}}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{On considère la figure ci-contre où les droites (EF) et (MN) sont parallèles, les droites (EN) et (FM) sont sécantes en P. 

Déterminer la longueur MN.}
\hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(6,6)
\pspolygon(0.2,0)(0.6,1.7)(4.6,1.7)(5.6,5.7)
\uput[ul](0.2,0){F}\uput[ur](5.6,5.7){M}\uput[r](4.6,1.7){N}\uput[ul](0.6,1.7){E}
\uput[u](1.3,1.7){2}\uput[l](0.33,1){3} \uput[d](3.,1.7){5}
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Le lancer de poids}

\medskip 

\emph{Les différentes parties de ce problème sont indépendantes et peuvent être traitées séparément. Un formulaire est disponible en dernière page.} 

\bigskip

Cette discipline sportive consiste à lancer un poids réglementaire, à partir d'un cercle, le plus loin possible. 

\medskip

\textbf{I-} Le cercle de lancer 

\medskip

\parbox{0.68\linewidth}{Pour effectuer son lancer, l'athlète doit prendre son élan dans un cercle de diamètre 2,14 m. 

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du disque délimité par le cercle de lancer. 

Pour être valable, le jet doit tomber à l'intérieur des deux lignes inscrites sur le sol et formant un secteur d'un angle de $40$\,\degres. (Voir schéma ci-contre). 
\item Représenter le cercle et la zone de lancer à l'échelle $\dfrac{1}{50}$.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3,6.5)
\pscircle(1.5,1){1}\psline(0.5,1)(2.5,1)
\uput[d](1.5,1){\footnotesize 2,14 m}
\psline(1.5,1)(0.2,5)  \psline(1.5,1)(2.8,5)
\psline[linestyle=dashed](0.2,5)(-0.1,6) \psline[linestyle=dashed](2.8,5)(3.1,6)
\psarc(1.5,1){0.6cm}{73}{110}\uput[u](1.5,1.5){\footnotesize 40\,\degres}
\end{pspicture}}

\medskip

\textbf{II-} Le poids 

\medskip

Le poids est une boule métallique. 

Pour être utilisé en compétition, il doit vérifier les conditions suivantes :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Poids &Homme &Femme\\ \hline 
Diamètre &de 110 mm à 130 mm &de 95 mm à 110 mm\\ \hline 
Masse &de 7,26 kg à 7,285 kg &de 4 kg à 4,025 kg\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip 

Un poids de diamètre 12~cm est composé d'un métal ayant une masse volumique de 8~g/cm$^3$. 

Ce poids vérifie-t-il les conditions nécessaires pour être utilisé en compétition ?
 
\emph{Justifier votre réponse}. 
 
\medskip

\textbf{III -} Trajectoires 

\medskip

\parbox{0.78\linewidth}{Pour une même impulsion, la longueur du jet du poids varie en fonction de l'angle de lancer (voir schéma ci-contre).
 
Les trois courbes (voir Annexe) représentent la hauteur (en m) en fonction de la distance horizontale (en m) parcourue par le poids.}\hfill 
\parbox{0.2\linewidth}{\psset{unit=0.15cm}
\begin{pspicture}(15,21)
\pscurve(0.3,0)(0,0.3)(-0.2,0.5)(-0.1,1)(-0.2,1.4)(-0.4,1.6)(0,2)(0.4,2.5)(0.8,3)(1,3.6)(1.2,4)(1.5,4.5)(2,4.7)(2.1,5)(2,5.8)(1.9,6)(2,6.7)(2.2,7)(2.25,7.3)(2,7.4)(2.1,8)(2.2,8.7)(2.3,8.85)(2.5,8.9)(2.65,9)(2.7,10)(2.45,10.6)(2.55,11)(2.7,12)(2,12.3)(1.85,13)(2.2,13.2)(2.5,13.5)(3,13.7)(3.3,13.6)(3.5,13.3)(4,12.7)(4,12.7)(4.2,13)(4.7,13.5)(5,13.6)(5.2,14)(6,14.5)(6.4,14.7)(6.9,15)(7,15.3)(7,15.6)(7.4,15.7)(7.9,15.9)(8,15.5)(7.8,15.2)(7.4,15)(7,14.7)(6.6,14)(6,13.6)(5.5,13.45)(5.2,13)(5,12.6)(4.4,12)(4.8,11.8)(4.9,11.2)(5.3,11.3)(5.8,11.45)(6,11.4)(6.4,11)(6.1,10.9)(6,10.7)(5,10.5)(4.9,10)(4.8,9.7)(4.6,9)(4.4,8.6)(4.5,8)(4.55,7)(4.8,6)(4.9,5)(5,4)(5.25,3)(5.35,2)(5.6,1.5)(5.8,1)(5.8,0.8)(6,0.6)(6.3,0.3)(6.4,0)(5.5,0)(5,0.6)(4.7,0.7)(4.75,1.2)(4.8,1.7)(4.7,2)(4.2,3)(4,3.6)(4,4)(4,4.5)(3.6,5)(3,4)(2,3)(1.2,2)(1,1.7)(0.8,1)(0.65,0)
\pscurve(3.2,13.3)(3,13)(2.85,12.85)(3,12.6)(3.3,12.4)(3.15,12)(3.2,11.25)(4,11)(4.6,11.5)
\psline(-0.2,0)(1,0.1)(4,0)(6.8,0.15)
\pscurve(2.4,8.75)(3,8.7)(4,8.6)(4.4,8.55)
\pscurve(2.3,7.2)(3,7.3)(3.3,7.35)(3.5,7.6)(3.7,7.3)(4.4,7.15)
\pscurve(0.1,1.75)(0.4,1)(0.45,0.8)(0.8,0.7)
\pscurve(4.85,1.2)(5.2,1)(5.7,0.8)(5.9,0.9)
\psframe(6.8,0)(8.2,0.6)
\pscurve(4.3,7.25)(4,6)(3,4)
\qdisk(8.3,16.2){0.6}
\psline[linestyle=dashed](8.3,16.2)(15,16.2)
\psline(8.3,16.2)(12.4,20)
\psarc(8.3,16.2){1.8}{0}{40}
\psarc(8.3,16.2){2.1}{0}{40}
\end{pspicture}
}

\medskip
 
Les courbes (C1), (C2) et (C3) correspondent à des angles de lancer respectifs de 60\,\degres, 40\,\degres{} et 10\,\degres.
 
En utilisant ces courbes répondre aux questions suivantes :

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item À quelle hauteur le poids est-il lâché ? 
\item Pour quel angle de lancer, la longueur du jet est-elle la plus grande ? 

Quelle est alors la distance obtenue pour ce lancer ? 
\item Pour quel angle de lancer, le poids monte-t-il le plus haut ? 

Quelle est alors la hauteur maximum atteinte par le poids? 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{IV-} Performances

\medskip
 
Voici les valeurs (en m) des lancers réalisés par les 11 finalistes qualifiés aux J. O. de 2008 :
 
\[20,06\:;\: 20,53\: ;\: 21,09\: ;\: 19,67\: ;\: 20,98\: ;\: 20,42\:;\: 21,51\: ;\: 21,04\: ;\: 20,41 \:;\: 20,63 \:;\: 21,05\]
 
\begin{enumerate}
\item Les médailles d'or, d'argent et de bronze ont été obtenues respectivement par la Pologne, les États-Unis et la Biélorussie.
 
Donner les longueurs de lancer de leurs athlètes. 
\item Calculer la longueur de lancer moyenne de cette finale. 
\item L'ukrainien Yurly Bilonoh a réussi le lancer médian de cette finale. Quelle a été la longueur de son lancer ? 
\item Calculer le pourcentage des lanceurs qui ont franchi les 21~m. 

\end{enumerate}

\vspace*{-25cm}

\begin{landscape}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-6)(20,9)
\rput{-90}(22,4.5){\textbf{ANNEXE}}
\rput(10,9.5){REPÈRE}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=1.4pt,griddots=8](0,0)(20,9) 
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(20,9)
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\parabola(0,2)(7.5,8.5)\pscurve(15,2)(15.52,1)(16,0)
\pscurve[linestyle=dashed](0,2)(2,3.7)(4,5.08)(6,5.92)(8,6.4)(10,6.28)(12,5.65)(14,4.65)(16,3.15)(18,1.3)(19,0)
\pscurve[linecolor=blue](0,2)(2,2.2)(4,2.2)(6,1.98)(8,1.48)(10,0.75)(11.5,0)
\rput(0,-1.5){\textbf{Formulaire}}
\psframe(0,-2)(6,-6) \pscircle(1.5,-4){1.3}\psline(3,-2)(3,-6)\psline(3,-4)(6,-4)
\rput(4.5,-3){$P = 2\pi r$} \rput(4.5,-5){$A = \pi r^2$}\psline{->}(1.5,-4)(2.8,-3.8) 
\uput[u](2.15,-3.9){$r$}
\psframe(8,-2)(14,-6) \pscircle(9.5,-4){1.3}\psline(11,-2)(11,-6)\psline(11,-4)(14,-4) 
\rput(12.5,-3){$A = 4\pi r^2$} \rput(12.5,-5){$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$}
\psellipse(9.5,-4)(1.3,0.4)\psline(9.5,-4)(10.8,- 4)\uput[ul](9.5,-4){O}\uput[u](10.25,-4){$r$}
\rput(0.4,3.15){(C1)}\rput(1.2,2.7){(C2)}\rput(1.5,1.9){(C3)}
\uput[r](0,8.8){hauteur en m}\uput[u](18.5,0){distance horizontale en m} 
\end{pspicture} 
\end{landscape}
\end{document}