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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\lhead{\small L'année 1994}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Amérique du Nord}
\lfoot{\small juin 1994}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Amérique du Nord juin 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\bigskip

\textbf{Les exercices suivants sont indépendants}

\medskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ et $B$, en donnant le détail des calculs, et montrer que
ce sont des entiers :

\[A = \dfrac{4 \times 10^{- 7} \times 15 \times \left(10^3\right)^2}{ 12 \times 10^{-3}} ; \qquad 
B = 2\sqrt{500} - 3\sqrt{125} + 7 - 5\sqrt{5}.\]

\item Calculer $C$ et donner le résultat sous la forme d'une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers les plus petits possibles :

\[C = 1 - \dfrac13 \times \left(4 - \dfrac25\right).\]
 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne :

\[D = (3x- 1)^2- (3x - 1)(2x + 5)\]

	\begin{enumerate}
		\item En factorisant $D$, montrer que $D = (3x - 1)(x - 6)$.
		\item Résoudre l'équation $D = 0$.
	\end{enumerate}	
\item  On donne:
\[E= (3x+ 6)^2+ (4x - 3)(4x + 3).\]

Développer puis réduire l'expression $E$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système d'équations:
\[\left\{\begin{array}{l c r}
5x + 3y						&=&180\\
\phantom{5}x + \phantom{5}y	&=&40\\
\end{array}\right.\]

\item Pierre a quarante livres épais de 5 cm ou 3 cm. 

S'il les range sur un même rayon, ils occupent $1,80$ m.

Combien a-t-il de livres de chaque catégorie ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

Un commerçant réalise un bénéfice de 35\,\% sur ses prix d'achat.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le prix de vente d'un article acheté $140$ F ?
\item Quel est le prix d'achat d'un article vendu $202,50$ F?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.56\linewidth}
Pour prendre des photos aériennes de sites enfouis, un archéologue se place à $200$~m d'altitude à la verticale d'un point nommé T.

Il voit alors [VT] sous un angle de $25\degres$.

Calculer VT en donnant sa valeur approchée au mètre près.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.40\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(4.3,4)
\psline(0,0.2)(4.3,0.2)
\multido{\n=0.000+0.253,\na=0.253 +0.253}{17}{\psline(\n,0)(\na,0.2)}
\psline(1.1,0.2)(2.7,3.1)(2.7,0.2)
\psarc(2.7,3.1){0.5}{240}{270}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.8,0.2)(2.8,3.1)\uput[r](2.8,1.65){200 m}
\rput(2.5,2.3){\footnotesize $25\degres$}
\uput[d](1.1,0.1){V}\uput[d](2.7,0.1){T}\uput[u](2.7,3.1){A}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2}

\medskip

Sur le schéma ci-dessous, on a reproduit plusieurs fois un motif.

Recopier et compléter les phrases suivantes, en utilisant les numéros des figures et les points déjà nommés.

\medskip

La figure \ldots\ldots est l'image de la figure 1 par la symétrie de centre \ldots\ldots .

La figure \ldots\ldots  est l'image de la figure 1 par la translation de vecteur \ldots\ldots.

 La figure 

La figure 2 est l'image de la figure 1 par la rotation de centre \ldots\ldots et d'angle \ldots\ldots


La figure \ldots\ldots est l'image de la figure 1 par la symétrie d'axe \ldots\ldots


\begin{center}
\psset{unit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-20,-20)(20,20)
%\psgrid
\multido{\n=-18+1}{41}{\multido{\na=-18+1}{41}{\psdots[dotsize=1pt](\n,\na)}}
\def\zig{\pspolygon*(0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(4,0)(5,1)(6,0)(8,2)(9,1)(6,-2)(5,-1)(4,-2)(3,-1)(2,-2)}
\def\zigo{\psscalebox{-1 1}{\zig}}
\psdots(0,0)\uput[ur](0,0){B$'$}
\rput(-16,4){\zig}\rput(-8,2){fig. 2}
\rput{-90}(4,16){\zig}\rput(1,13){fig. 1}
\rput{-90}(18,18){\zig}\rput(14.5,11){fig. 5}
\rput(6,2){fig. 4}
\rput{90}(-4,-15){\zig}\rput(0,-11){fig. 3}
\rput(14,4){\zigo}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC tel que : AB $= 6$ cm, AC $= 9$ cm, BC $= 8$ cm.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur le segment [BC], placer le point I tel que : CI $= \dfrac14$ CB.
		\item La parallèle à la droite (AC) passant par I coupe la droite (BA) en J.

Calculer BJ et IJ.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4}

\medskip

\begin{minipage}{0.56\linewidth}La figure ci-contre représente, en perspective cavalière, un cube
ABCDEFGH d'arête 6 cm. 

I est le milieu de [CB].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de FD.
\item Calculer la valeur exacte de DI.
\item Montrer que le périmètre du triangle FDI est égal à: $6 \left(\sqrt 2 + \sqrt 5\right)$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,4.8)
\psframe(0.2,0.2)(3,3)%EFCD
\psline(3,0.2)(4.3,1.7)(4.3,4.5)(3,3)%FGBC
\psline(4.3,4.5)(1.5,4.5)(0.2,3)%BAD
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.5,1.7)(4.3,1.7)%EHG
\psline[linestyle=dashed](1.5,1.7)(1.5,4.5)%HA
\uput[u](1.5,4.5){A} \uput[u](4.3,4.5){B} \uput[r](3,3){C} \uput[l](0.2,3){D}
\uput[dl](0.2,0.2){E} \uput[dr](3,0.2){F} \uput[r](4.3,1.7){G} \uput[l](1.5,1.7){H}
\uput[ul](3.65,3.75){I}
\psdots(3.65,3.75)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\newpage

\textbf{\Large Problème}

\bigskip

\textbf{PREMIÈRE PARTIE}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal d'origine O.

Soit $(\Delta)$ la droite d'équation $y = - \dfrac32 x + 30$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver les coordonnées du point A, intersection de $(\Delta)$ avec l'axe
des ordonnées.
\item Trouver les coordonnées du point B, intersection de $(\Delta)$ avec l'axe des abscisses.
\item Tracer la droite $(\Delta)$ dans le repère. (On choisira l'origine O du repère en bas et à gauche de la feuille de papier millimétré et on prendra sur chaque axe $5$~mm pour unité.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{DEUXIÈME PARTIE}

\medskip

Un concours comporte les deux épreuves écrites suivantes :

\begin{itemize}
\item une épreuve de mathématiques (coefficient 3) ;
\item une épreuve de français (coefficient 2).
\end{itemize}

Chacune de ces deux épreuves est notée de 0 à 20. Un candidat, pour être reçu à ce concours, doit obtenir $12$ de moyenne.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la moyenne de Laurence, qui a obtenu $13,5$ en mathématiques et $8,5$ en français. Sera-t-elle reçue ?
\item Pour un candidat, soit $x$ la note obtenue en mathématiques, et soit $y$ la note obtenue en français.

Justifier que sa moyenne $m$ est donnée par la formule :

\[m = \dfrac{3x+2y}{5}.\]

\item Jacques a obtenu $10,5$ en français.

Quelle note doit-il avoir en mathématiques pour obtenir $12$ de moyenne ? Justifier.
\item Pour les candidats dont la moyenne est $12$, réécrire la formule de la question 2, puis montrer qu'elle peut se mettre sous la forme :

\[y = - \dfrac32 x + 30.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{TROISIÈME PARTIE}

\medskip

Sur le graphique de la première partie, les notes de mathématique sont reportées en abscisses, et les notes de français, en ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer le point L dont les coordonnées sont les notes de Laurence de la question 1 de la deuxième partie.
\item Placer le point E dont les coordonnées sont les notes de Jacque trouvées à la question 3 de la deuxième partie.
\item Pour un candidat, si le point représentant ses notes est sur $(\Delta)$, que peut-on dire de sa moyenne ?
\item Sébastien obtient $7,5$ en français. Lire sur le graphique sa note de mathématiques, sachant que sa moyenne est $12$ ?  Vérifier par un calcul.
\item Un candidat peut-il avoir 12 de moyenne avec 0 en français? avec 0 en mathématiques?

Si oui, donner l'autre note.
\end{enumerate}
\end{document}