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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Amérique du Nord}
\lfoot{\small juin 1979}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Amérique du Nord juin 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\bigskip

On considère les fonctions polynômes définies dans $\R$ par:
\begin{align*}
f(x) &= 4(3x-1)^2 - 25(-3x+2)^2\\
g(x) &= (7x - 4)^2 - 2(4 - 7x)(4x - 3) + 7x - 4
\end{align*}
\begin{enumerate}
\item  Développer, réduire et ordonner les polynômes $f(x)$ et $g(x)$ suivant les
puissances décroissantes de $x$.
\item Écrire $f$ et $g$ sous la forme d'un produit de fonctions polynômes de degré
au plus égal à UN.
\item Soit $h$ la fonction rationnelle définie par :

\begin{align*}
h \: : \: &\R\longrightarrow \R\\
&x\longmapsto\dfrac{f(x)}{g(x)}
\end{align*}
\begin{enumerate}
\item Donner l'ensemble de définition $\mathcal{D}_h$ de $h$.
\item Montrer que, pour tout $x$ élément de $\mathcal{D}_h$ : 

\[h(x) = \dfrac{- 9x + 8}{5x - 3}\]
\item Calculer $h (\sqrt{2})$ et écrire le résultat sous la forme d'un quotient dont
le dénominateur est un entier.
\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\mathcal{D}_h$ les équations :

\[h(x) = 0 \hspace{7em} \text{et }\hspace{7em} h(x) = \dfrac{1}{4}.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère
les points A et B définis par :

\[\vect{\text{OA}} = 2 \vect{\imath} + 5 \vect{\jmath}\hspace{12em}\vect{\text{OB}}=\dfrac{5}{2}\vect{\imath} -\vect{\jmath}.\]

\begin{enumerate}
\item  On note N le projeté orthogonal de A sur l'axe des abscisses.

On note P le projeté orthogonal de B sur l'axe des ordonnées.

 Quelles sont les coordonnées de N et P ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire une équation de la droite (AP).
		\item Écrire une équation de la droite (BN).
	\end{enumerate}
\item On pose \{Q\} = (AP) $\cap$ (BN).

Calculer les coordonnées de Q.
\item Montrer que le triangle (Q,\  N,\  P) est un triangle rectangle isocèle en N.
\item Montrer que Q est le milieu de [A,~P] et calculer les coordonnées du
point R tel que 

(P{},\  R,\  A,\  N) soit un parallélogramme.
\item Quelle est la nature du triangle (Q,\  R,\  A) ?

Justifier votre réponse.
\end{enumerate}
\end{document}