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%Merci à Johann Dolivet et Denis Le Fur pour le sujet
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\sfdefault}{phv}% police helvetica pour les blocs scratch.
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Amérique du Sud 16 novembre 2022},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{16 novembre 2022}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Sud 16 novembre 2022~\decofourright}}

\bigskip

\textbf{Durée : 2 heures}

\end{center}

\medskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 25 points}

\medskip

Voici six affirmations. Pour chacune d'entre elles, dire si elle est vraie ou fausse.

\smallskip

\textbf{On rappelle que chaque réponse doit être justifiée}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Deux urnes opaques contiennent des boules de couleur, indiscernables au toucher.

Voici la composition de chaque urne :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Urne A : $20$ boules dont $8$ boules bleues
\item[$\bullet~~$] Urne B : $11$ boules bleues et $14$ boules vertes
\end{itemize}

\textbf{Affirmation 1} : on a plus de chance de tirer au hasard une boule bleue dans l'urne B que dans l'urne A.
\item Voici une série statistique: 14 ; 12 ; 3 ; 14 ; 7 ; 11 ; 7 ; 12 ; 14.

\textbf{Affirmation 2} : la médiane de cette série statistique est 11.
\item Lors d'une course à pied, un coureur a parcouru $36$~km en 3~h~20.

\textbf{Affirmation 3} : sa vitesse moyenne est de $11,25$~km/h.
\item On considère deux fonctions $f$ et $g$. 

La fonction $f$ est définie par : $f(x)= - 4x - 5$.

Voici la représentation graphique de la fonction $g$ :

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(2.5,4.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.2pt,subgridwidth=0.1pt]
\uput[u](2.3,0){$x$} \uput[r](0,4.3){$y$}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2.99,-2.99)(2.5,4.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{2.5}{ x dup mul x 2 div add 1.5 sub}
\end{pspicture*}
\end{center}

\textbf{Affirmation 4} : l'image de $-1$ par la fonction $f$ est inférieure à l'image de $-1$ par la fonction $g$.
\item \textbf{Affirmation 5} : pour tout nombre $x$, on a : $(x + 5)^2- 4 = (x + 1)(x + 9)$.
\item On considère un carré de longueur de côté 6 mètres.

\textbf{Affirmation 6} : les diagonales de ce carré mesurent $\sqrt{72}$ mètres.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 20 points}

\medskip

Le diagramme ci-dessous représente la production d'énergie solaire photovoltaïque en TWh (Térawattheure) des cinq plus gros producteurs dans l'Union européenne qui compte vingt-huit pays en 2019.

\begin{center}
\psset{xunit=1.15cm,yunit=0.167cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1,-5)(11,60)
\multido{\n=0+5}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(11,\n)}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,0)(2,47.5)\uput[u](1.5,47.5){47,5 TWh}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3,0)(4,23.7)\uput[u](3.5,23,7){23,7 TWh}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5,0)(6,12.75)\uput[u](5.5,12.7){12,7 TWh}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7,0)(8,11.6)\uput[u](7.5,11.6){11,6 TWh}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](9,0)(10,9.5)
\uput[r](0,55){Production (en TWh)}
\rput(5.5,59){\textbf{Production photovoltaïque des cinq plus gros producteurs}}
\rput(5.5,56){ \textbf{dans l'Union européenne en 2019}}
\uput[d](1.5,0){Pays A}\uput[d](3.5,0){Pays B}
\uput[d](5.5,0){Pays C} \uput[d](7.5,0){Pays D}  \uput[d](9.5,0){Pays E}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(11,0)(0,0)(0,60)
\multido{\n=0+5}{11}{\uput[l](0,\n){\n}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Avec la précision permise par le graphique, donner approximativement la production photovoltaïque enTWh du pays E.
\item La production photovoltaïque totale des $28$ pays de l'Union européenne en 2019 est de $131,8$~TWh.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les pays A et B totalisent à eux seuls environ 54\,\% de la production européenne.
		\item La production photovoltaïque totale des $28$ pays de l'Union européenne était de $122,3$~TWh en 2018.

Quel est le pourcentage d'augmentation de la production photovoltaïque totale entre 2018 et 2019 ?

Arrondir le résultat au dixième.
	\end{enumerate}
\item On veut étudier dans le pays D l'évolution de la production électrique par type d'énergie de 2017 à 2019. On utilise alors le tableur pour réaliser le tableau suivant.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D\\ \hline
1&Type d'énergie&\multicolumn{3}{c|}{Production électrique (en TWh)}\\ \cline{3-5}
2&				&en 2017		&en 2018&en 2019\\ \hline
3&Nucléaire		&379,1	&393,2	&379,5\\ \hline
4&Thermique (gaz, fioul, charbon)	&53,9&39,4&42,6\\ \hline
5&Hydraulique	&53,5	&68,3	&60\\ \hline
6&Éolien		&24,1	&27,8	&34,1\\ \hline
7&Solaire		&9,2	&10,2	&11,6\\ \hline
8&Bioénergies	&9,5	&9,7	&9,9\\ \hline\hline
9&Total			&529,3	&548,6	&537,7\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Citer les types d'énergie dont la production a augmenté chaque année de 2017 à 2019.
		\item Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B9 avant de l'étirer jusqu'à la cellule D9 ?
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 20 points}

\medskip

Dans le triangle ADC rectangle en D, l'angle $\widehat{\text{DCA}}$ mesure $30\degres$.

Le point B est le point du segment [AC] tel que les longueurs DB et CB sont égales.

\emph{La figure ci-dessous n'est pas représentée en vraie grandeur}

\begin{center}
\psset{unit=1.15cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(6,4.2)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,3.5)(0.2,0.3)(5.7,0.3)%ADC
\psline(0.2,0.3)(2.95,1.9)%DB
\uput[ul](0.2,3.5){A} \uput[d](2.95,1.9){B} \uput[dr](5.7,0.3){C} \uput[dl](0.2,0.3){D} 
\psarc(5.7,0.3){0.5}{150}{180}\rput(5.,0.46){$30\degres$}
\psframe(0.2,0.3)(0.4,0.5)
\psline[linestyle=dashed]{<->}(0.4,3.7)(5.8,0.6)\rput{-30}(3.1,2.55){10~cm}
\rput{50}(1.6,1.1){/}\rput{50}(1.65,1.14){/}\rput{-20}(4.1,1.24){/}\rput{-20}(4.13,1.19){/}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{DBC}}$.
\item Montrer par le calcul que le segment [AD] mesure $5$~cm.
\item Calculer la longueur DC au millimètre près.
\item Déterminer la nature du triangle ABD.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 4 \hfill 18 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice. aucune justification n'est attendue}

\smallskip

On souhaite réaliser le logo ci-dessous avec le logiciel Scratch à partir du script incomplet ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X| X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Logo}}&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Script principal}}\\
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-3.3,-3.3)(3.3,3.3)
\def\drapeau{\psline(0,0)(2.3,0)(3.1,-0.75)(1.95,-0.75)(1.15,0)}
\multido{\n=0+72}{5}{\rput{\n}(0;0){\drapeau}}
\end{pspicture}\end{center}&\begin{scratch}[num blocks,num start = 0]
\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
\blockmove{aller à x: \ovalnum0 y: \ovalnum0}
\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90\selectarrownum} degrés}
\blockpen{effacer tout}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{......} fois}
{\blockmove{Motif}
\blockmove{aller à x: \ovalnum{......} y: \ovalnum{......}}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{......} degrés}
}
\end{scratch}\\ \hline
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
On rappelle que l'instruction \begin{scratch}\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90\selectarrownum} degrés}\end{scratch} consiste à orienter le lutin et le stylo horizontalement vers la droite.\\ \hline
Le bloc \begin{scratch}\blockmove{Motif}\end{scratch} permet de réaliser la figure ci-contre :\quad 
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2,-1.2)(3.3,0.2)
\def\drapeau{\psline(0,0)(2.3,0)(3.1,-0.75)(1.95,-0.75)(1.15,0)}
\rput(0;0){\drapeau}
\rput(-1,-1){Point de départ}
\psline[linewidth=2pt]{->}(-1,-0.7)(0,0)
\end{pspicture}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item En mathématiques, comment appelle-t-on la transformation géométrique qui permet de
passer d'un motif du logo au suivant ?
\item Ici, le stylo est orienté horizontalement vers la droite au départ.

Parmi les trois propositions suivantes, quelle est celle qui permet d'obtenir le motif souhaité ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X| X| X|}\hline
Proposition 1 &Proposition 2& Proposition 3\\ \hline
{\small \begin{scratch}
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Motif}}
\blockpen{stylo en position d’écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
{\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{140} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{40} degrés}
}
\blockpen{relever le stylo}
\end{scratch}}&{\small \begin{scratch}
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Motif}}
\blockpen{stylo en position d’écriture}
\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
{\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{40} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{140} degrés}
}
\blockpen{relever le stylo}
\end{scratch}}&{\small \begin{scratch}
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Motif}}
\blockpen{stylo en position d’écriture}
\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
{\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{40} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{140} degrés}
}
\blockpen{relever le stylo}
\end{scratch}}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Compléter le script principal en recopiant sur la copie uniquement la boucle « répéter» (c'est-à-dire les instructions 4, 5, 6 et 7).
\item On veut placer l'instruction \begin{scratch} \blockpen{ajouter \ovalnum{10} à la couleur du style}\end{scratch} de façon à changer de couleur à chaque motif.

Sur la copie, indiquer un numéro d'instruction du script principal \textbf{après laquelle} on peut placer cette instruction.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Exercice 5 \hfill 17 points}

\medskip

On souhaite construire un carré potager en utilisant des planches en bois et en suivant le montage ci-dessous.

Le carré potager souhaité n'a pas de fond et il a la forme d'un pavé droit de base carrée et de hauteur $30$~cm.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline
\textbf{Vue de dessus} &\textbf{Plan et indications pour le montage}

Prévoir dans chaque angle une équerre à visser avec $8$ vis pour assembler les $4$ planches formant l'angle.\\
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.8,5)
%\psgrid
\psframe(0,0.6)(4.4,4.9)
\psline(0.2,0.8)(0.2,4.7)\psline(4.2,0.8)(4.2,4.7)
\psline(0,4.7)(4.4,4.7)
\psline(0,0.8)(4.2,0.8) \psline(4.2,0.6)(4.2,4.7)
\psline[linestyle=dashed]{<->}(0,0.4)(4.2,0.4)\uput[d](2.1,0.4){1,20~m}
\psline[linestyle=dashed]{<->}(4.4,0.4)(4.2,0.4)\uput[d](4.3,0.4){2 cm}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(9.5,4.5)
%\psgrid
\psframe(0,0.8)(5.2,2.1)\psline(0,1.45)(5.3,1.45)(7.9,3.75)\psline(7.1,3.75)(2.6,3.75)(0.8,2.1)
\pspolygon(5.3,0.8)(7.9,3.1)(7.9,4.4)(5.3,2.1)
\psline(7.9,4.4)(2.6,4.4)(0,2.1)
\psline(5.2,2.1)(7.7,4.3)(2.6,4.3)(0.15,2.1)
\psline(2.6,4.3)(2.6,3.1)
\psline(6.3,3.1)(2.6,3.1)(1.6,2.1)
\psline(5.2,2.1)(5.3,2.1)\psline(5.2,0.8)(5.3,0.8)
\rput(0.7,4.2){2 planches}
\psline{->}(0.7,4)(2.2,3.6)
\psline{->}(0.7,4)(2,2.8)
\psline[linestyle=dashed]{<->}(0,0.6)(5.2,0.6)\uput[d](2.6,0.6){1,20~m}
\psline[linestyle=dashed]{<->}(5.5,0.7)(8.1,3.1)\uput[dr](6.8,1.9){1,20~m}
\psline[linestyle=dashed]{<->}(8.1,3.1)(8.1,4.4)\uput[r](8.1,3.75){30~cm}
\rput(5.25,0.3){2 cm}\psline[linestyle=dashed]{>-<}(5.2,0.5)(5.3,0.5)
\rput(8.4,2.6){2 cm}
\end{pspicture}\\ \hline
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{4}{|c|}{\textbf{Prix}}\\\hline
Équerre  à 8 trous &Planche en bois&Vis&Sac de terre végétale\\
&{\small 250 cm $\times$ 15 cm $\times$ 2 cm}&Lot de 100&40 L\\
2,90~\euro{} la pièce&5,60~\euro{} la pièce&5,70~\euro{} le lot&6,90~\euro{} le sac\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item À l'achat, les planches en bois mesurent $2,50$~m de longueur.
	\begin{enumerate}
		\item Combien de planches devra-t-on acheter ?
		\item Déterminer le budget nécessaire (hors coût de la terre) pour réaliser ce carré potager.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On remplit le carré potager de terre végétale au minimum jusqu'aux deux tiers de sa hauteur.

On dispose la terre afin qu'elle forme un pavé droit dont la longueur du côté de la base carrée est de $118$~cm.

\begin{enumerate}[resume]
\item Sept sacs de terre végétale seront-ils suffisants pour compléter au minimum le carré potager ?

On rappelle que : 1~L = 1~dm$^3$.
\end{enumerate}
\end{document}