\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Amiens juin 1994},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1994}
\rfoot{\small Amiens}
\lfoot{\small juin 1994}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens juin 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire les nombres

\begin{center} $A = \dfrac{25 \times 27}{ 72 \times 75}$ \quad et $B = \dfrac{\np{9876}}{\np{12345}}$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item sous forme décimale;
\item en notation scientifique;
\item sous forme d'une fraction la plus simple possible.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne $E =(3x - 5)^2 - 49$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation $E = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On s'intéresse à l'évolution des prix de certains objets entre les années
1990 et 1993. Complétez le tabLeau suivant où les variations sont données en pourcentages.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Objet	&Prix en 1990&Variation&Prix en 1993\\ \hline
A&300 F	&+ 7\,\%	&321 F\\ \hline
B&200 F	& + 6\,\%	&\ldots F\\ \hline
C&350 F	&$- 8\,\%$	&\ldots F\\ \hline
D&280 F	&\ldots \%	&294 F\\ \hline
E&180 F &\ldots \%	&162 F\\ \hline
F&\ldots& +5\,\%	&294 F\\ \hline
G&\ldots&$- 5\,\%$	&266 F\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Adèle a effectué des calculs et propose, pour le système d'équations:

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + y + z&=&40\\
x - z&=&9\\
z - y&=&5
\end{array}\right.\]

la solution $x = 21,\:  y = 7,\:  z = 12$.

Vérifiez si la solution d'Adèle est correcte.
\item Bernard doit construire un triangle ABC dont le périmètre mesure $40$ cm et tel que :

[AB] soit plus long que [BC] de 9 cm, [AC] soit moins long que [BC] de 5 cm.

Adèle lui dit alors: \og J'ai une méthode. Il suffit de dire que $x$, $y$ et $z$ sont des longueurs de segments, et nous pourrons utiliser le système que je viens de résoudre. \fg
	\begin{enumerate}
		\item De quels segments pensez-vous que, selon Adèle, $x$, $y$ et $z$ sont les longueurs?

On justifiera cette idée.
		\item Que feriez-vous à la place de Bernard ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans le dessin ci-dessous: (MN) est parallèle à (BC). (BN) est parallèle à (CD).

On  a les longueurs: AM $= 3$, MB $= 4$, AC $= 14$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.2,4)
%\psgrid
\psline(9.2,0.2)(0.2,0.2)(8.4,3.8)%DAC
\psline(1.1,0.2)(2.4,1.18)(3.6,0.2)(6.5,2.98)(8.9,0.2)%MNBCD
\uput[d](0.2,0.2){A} \uput[d](3.6,0.2){B} \uput[u](6.5,2.98){C}
\uput[dl](9.2,0.2){D} \uput[d](1.1,0.2){M} \uput[ul](2.4,1.18){N}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculez la longueur AN en indiquant la propriété utilisée.
\item Calculez la longueur BD.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

La figure ci-après est formée de triangles équilatéraux désignés chacun par un numéro. 

Répondre aux questions suivantes sans justification.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le transformé du triangle \no 40 par la translation
de vecteur $\vect{\text{AB}}$ ?
\item Quel est le transformé du triangle \no 40 par la rotation de
centre C qui fait passer du point D au point E ?
\item Quel est le transformé du triangle \no 40 par la symétrie de
centre D ?
\item Quel est le transformé du triangle \no 40 par la symétrie axiale d'axe (CD) ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,7)
%\psgrid
\pspolygon(0,0)(8,0)(4,6.9282)
\psline(0.5,0.866)(7.5,0.866)
\psline(1,1.732)(7,1.732)
\psline(1.5,2.598)(6.5,2.598)
\psline(2,3.464)(6,3.464)
\psline(2.5,4.33)(5.5,4.33)
\psline(3,5.196)(5,5.196)
\psline(3.5,6.062)(4.5,6.062)
%%%%%%%
\psline(1,0)(4.5,6.062)
\psline(2,0)(5,5.196)
\psline(3,0)(5.5,4.33)
\psline(4,0)(6,3.464)
\psline(5,0)(6.5,2.598)
\psline(6,0)(7,1.732)
\psline(7,0)(7.5,0.866)
\psline(0.5,0.866)(1,0)
\psline(1.5,2.598)(3,0)
\psline(2,3.464)(4,0)
\psline(2.5,4.33)(5,0)
\psline(3,5.196)(6,0)
\psline(3.5,6.062)(7,0)
\psline(1,1.732)(2,0)
\rput(4,6.5){1}\rput(3.5,5.5){2}\rput(4,5.6){3}\rput(4.5,5.5){4}
\rput(3,4.6){5}\rput(3.5,4.8){6}\rput(4,4.6){7}\rput(4.5,4.8){8}\rput(5,4.6){9}
\rput(2.5,3.8){10}\rput(3,4){11}\rput(3.5,3.8){12}\rput(4,4){13}\rput(4.5,3.8){14}\rput(5,4){15}\rput(5.5,3.8){16}
\rput(2,3){17}\rput(2.5,3.2){18}\rput(3,3){19}\rput(3.5,3.2){20}\rput(4,3){21}\rput(4.5,3.2){22}\rput(5,3){23} \rput(5.5,3.2){24}\rput(6,3){25}
\rput(1.5,2.1){26}\rput(2,2.3){27}\rput(2.5,2.1){28}\rput(3,2.3){29}\rput(3.5,2.1){30}\rput(4,2.3){31} \rput(4.5,2.1){32}\rput(5,2.3){33}\rput(5.5,2.1){34}\rput(6,2.3){35}\rput(6.5,2.1){36}
\rput(1,1.2){37}\rput(1.5,1.4){38}\rput(2,1.2){39}\rput(2.5,1.4){40} \rput(3,1.2){41}\rput(3.5,1.4){42}\rput(4,1.2){43}\rput(4.5,1.4){43}\rput(5,1.2){44}\rput(5.5,1.4){45}\rput(6,1.2){46}\rput(6.5,1.4){47}\rput(7,1.2){48}
\rput(0.5,0.4){49}\rput(1,0.6){50}\rput(1.5,0.4){51}\rput(2,0.6){52} \rput(2.5,0.4){53}\rput(3,0.6){54}\rput(3.5,0.4){55}\rput(4,0.6){56}\rput(4.5,0.4){57}\rput(5,0.6){58}\rput(5.5,0.4){59}\rput(6,0.6){60}\rput(6.5,0.4){61}\rput(7,0.6){62}\rput(7.5,0.4){63}
\uput[d](4,0){A}\uput[ur](4,1.732){D}\uput[ur](3.5,2.6){C}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](4,0)(4,1.732)(3.5,2.6)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

La figure ci-après représente en perspective cavalière un pavé droit ABCDEFGH.

L'unité de longueur est le centimètre.

On  a : AD = AE $= 6$, AB $= 8$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculez AC et HC.

Quelle est la nature du triangle CAH ?

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(13.4,10.5)
\psframe(0.2,0.2)(9.8,7.2)%DCBA
\psline(9.8,0.2)(12.3,2.5)(12.3,9.5)(9.8,7.2)%CGFB
\psline(12.3,9.5)(2.7,9.5)(0.2,7.2)%FEA
\psline(0.2,7.2)(9.8,0.2)%AC
\psline[linestyle=dashed](0.2,7.2)(2.7,2.5)(9.8,0.2)%AHC
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(2.7,2.5)(12.3,2.5)%DHG
\psline[linestyle=dashed](2.7,2.5)(2.7,9.5)%HE
\uput[l](0.2,7.2){A} \uput[r](9.8,7.2){B} \uput[r](9.8,0.2){C} \uput[l](0.2,0.2){D}
\uput[u](2.7,9.5){E} \uput[u](12.3,9.5){F} \uput[r](12.3,2.5){G} \uput[ur](2.7,2.5){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Dessinez en grandeur réelle le triangle CDH. (On rappelle que CDH est rectangle en D).
		\item Achever le patron de la pyramide ADCH.
	\end{enumerate}	
\item Calculez le volume de la pyramide ADCH.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal.

On prendra le centimètre comme unité sur les axes et on fera toutes les constructions sur la, feuille de papier millimétré.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A$(-6~;~3)$, D$(-2~;~-5)$ et E$(2~;~-3)$.
		\item Calculer les longueurs des côtés du triangle ADE.
		\item Vérifier que le triangle ADE est rectangle en D.
		\item Vérifier que $\tan \widehat{\text{DAE}} = 0,5$. 
		
En déduire la mesure à $1\degres$ près de l'angle $\widehat{\text{DAE}}$.
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'équation de la droite (DE)
		\item Soit $(\mathcal{D})$ la droite d'équation $y = 0,5x + 6$.
\begin{itemize}
\item Vérifier que cette droite passe par le point A et qu'elle est
parallèle à la droite (DE).
\item Tracer la droite $(\mathcal{D})$.
\item Le cercle de centre E et de rayon EA coupe la demi-droite [DE) en C. Construire le point C.
\item La droite perpendiculaire à (DE) qui passe par C coupe la
droite $(\mathcal{D})$ en B. Construire le point B.
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

(On justifiera cette réponse).
\end{itemize}
		\item On appelle \og rectangle d'or  \fg{} un rectangle dont le rapport
$\dfrac{\text{longueur}}{\text{largeur}}$ est égal à $\dfrac{1 + \sqrt 5}{2}$.

Y-a-t-il un \og rectangle d'or\fg{} dans votre dessin ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}