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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Amiens}
\lfoot{\small septembre 1986}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens septembre 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $f$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par 

\[f(x)= (4x - 3)(x - 5) - (4x - 3)^2 + 16x^2 - 9.\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f(x) = 4x^2+ x - 3$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) =- 3$.
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $f(x)$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
	\end{enumerate}	
\item Calculer $f\left(\dfrac34\right), \: f\left( - 2\sqrt 3\right),\: f\left(\sqrt 2 - 1 \right)$.
\item Sachant que $1,732< \sqrt 3< 1,733$ donner un encadrement de $45 - 2\sqrt 3$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormé \Oij.

Unité choisie: le cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A$(-2~;~1)$; B$(-1~;~-2)$; C$(2~;~-3)$; D(1~;~0).
\item Démontrer que les segments [AC] et [BD] ont même milieu K.
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse. 
\item Déterminer les coordonnées dans le repère \Oij{} des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et 
$\vect{\text{BC}}$.
\item Déterminer les longueurs des segments [AB] et [BC].
\item Préciser la nature du quadrilatère ABCD. Justifier la
réponse.
\item Démontrer que le triangle BKC est rectangle.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A(7~;~7); B(6~;~0); C(O~;~8).
		\item Déterminer les longueurs AB, AC et BC.
		
Montrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit I le milieu du segment [BC). Calculer ses coordonnées.
		\item Calculer les coordonnées du point J tel que ACIJ soit un parallélogramme.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que les segments [AB] et [IJ] ont même milieu.
		\item  Prouver que les droites (AB) et (IJ) sont perpendiculaires.
		\item Comparer les longueurs AB et IJ.
		\item En déduire la nature du quadrilatère AIBJ.
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant une propriété du triangle ABI, déterminer le centre et le rayon du cercle $C$ circonscrit au triangle ABI.
		
En déduire que J appartient à $C$.
		\item Soit K le point de coordonnées (10~;~4) ; prouver que ABK est un triangle rectangle en K.
		
		En déduire que K appartient à $C$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}