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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1995}
\rfoot{\small Amiens}
\lfoot{\small juin 1995}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Amiens juin 1995 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les nombres :

3-4 \[A = \dfrac67  - \dfrac47  \times \dfrac52 ;\quad  B = \dfrac{\dfrac34 - 4}{\dfrac34 + \dfrac13} 
;\quad  C = 3^2 \times 2 - 125 \times 10^{-1}.\]

En précisant les différentes étapes des calculs :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $A$ sous la forme la plus simple possible et sans utiliser de valeur approchée.
\item Écrire $B$ sous la forme d'un nombre entier relatif.
\item Écrire $C$ sous la forme d'un nombre décimal.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère les nombres :

\[D = \left(2\sqrt 3 + 1\right)\left(2\sqrt 3 - 1\right) ; \quad  E = 8\sqrt  5 - \sqrt{20} - 2\sqrt{45}.\]

\medskip

En indiquant le détail des calculs, écrire $D$ et $E$ sous forme de nombres entiers.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit l'expression $F= (2x - 5) - x(2x - 5)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $F$.
\item Factoriser $F$.
\item Résoudre l'équation $(2 x - 5) (x - 5) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Une enquête sur les bandes dessinées lues par les $30$ élèves d'une classe a donné le diagramme suivant :

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
%\psgrid
\pscircle(0,0){4}
\pswedge(0,0){4}{15}{27}\rput(1.5;21){1}\rput{21}(3;21){\footnotesize Spirou}
\pswedge(0,0){4}{27}{75}\rput(1.5;51){4}\rput{51}(3.5;51){\scriptsize Gaston Lagaffe}
\pswedge(0,0){4}{75}{219}\rput(1.5;147){12}\rput{147}(3;147){\footnotesize Thorgal}
\pswedge(0,0){4}{219}{375}\rput{297}(3;297){\footnotesize Astérix}
\end{pspicture}
\end{center}

1 élève lit Spirou, 4 lisent Gaston Lagaffe, ... 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien d'élèves lisent Astérix ?
\item Quel est le pourcentage d'élèves de cette classe lisant Thorgal ?
\item Calculer l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ correspondant, sur le diagramme, aux lecteurs de Gaston Lagaffe.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture*}(-4.5,-4)(6,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.25pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none]{->}(0,0)(-4.5,-4)(6,5)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-5}{10}{2 0.5 x mul sub}\uput[ul](2.4,4.5){D$_1$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-5}{10}{2  x mul}\uput[ul](3.9,4.5){D$_4$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-5}{10}{2  x mul 3 sub}
\psline[linewidth=1.25pt](-3,4)(-3,-3)\uput[l](-3,3.95){D$_3$}
\psline[linewidth=1.25pt](-3,-2)(4,-2)\uput[d](3.75,-2){D$_2$}
\uput[d](1,0){I}\uput[l](0,1){J}\uput[dr](0,0){O}
\uput[d](5.5,0){$x$}\uput[r](0,4.75){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

Les cinq droites ci-dessus ont pour équation l'une des équations écrites ci-dessous :

\[y = - 2 ; \quad y = 2x ; \quad x = - 3 ; \quad  y = - 0,5x + 2  \quad \text{et} \quad  y = 2x-3.\]

Recopier et compléter : 

\medskip

La droite (D$_1$)a pour équation \ldots\ldots 

La droite (D$_2$)a pour équation \ldots\ldots

La droite (D$_3$)a pour équation \ldots\ldots

La droite (D$_4$)a pour équation \ldots\ldots

La droite (D$_5$)a pour équation \ldots\ldots

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Les questions 2, 3 et 4 sont indépendantes. 

L'unité est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle MAI rectangle en A tel que AM $= 8$ et IM $= 12$. 

Indiquer brièvement les étapes de la construction.
\item Calculer la valeur exacte de AI.
\item R est le point du segment [MI] tel que MR = 9. La parallèle à (AI) passant par R coupe [AM] en E. Calculer ME. )
\item Calculer $\cos \widehat{\text{AMI}}$.

En déduire la valeur arrondie au degré de $\widehat{\text{AMI}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Pour résoudre l'exercice, vous pourrez utiliser le formulaire suivant :

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{tabular}{|l|c|}\hline
Volume du pavé droit&$L \times l \times h$\\ \hline
Volume du cône&$\dfrac{\pi \times R^2 \times h}{3}$\\ \hline
Volume du prisme&$B \times h$\\ \hline
Volume de la pyramide&$\dfrac{B \times h}{3}$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
$L =$ longueur 

$l =$ largeur

$h =$ hauteur 

$R =$ rayon

$B =$ aire de base
\end{minipage}

\medskip

La pyramide du Louvre est une pyramide régulière à base carrée de $35$~m de côté, sa hauteur est $22$~m.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture*}(7.5,6.6)
%\psgrid
\psline(0.2,1)(4.2,1)(7,4)(3.6,6)(4.2,1)%ABCSB
\psline(3.6,6)(0.2,1)%SA
\pspolygon[linestyle=dashed](0.2,1)(3,4)(7,4)%ADCA
\pspolygon[linestyle=dashed](4.2,1)(3,4)(3.6,6)(3.6,2.5)%BDSH
\uput[d](0.2,1){A} \uput[d](4.2,1){B} \uput[r](7,4){C}
\uput[l](3,4){D} \uput[u](3.6,6){S} \uput[dl](3.7,2.5){H}
\rput(2.2,0.2){SH $= 22$ m}\rput{45}(5.9,2.2){35 m}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(7.08,3.9)(4.3,0.9)
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire de sa base.
\item Calculer la valeur exacte du volume $V$ de cette pyramide.

Donner la valeur arrondie de $V$ au mètre cube.
\item Dans un parc de loisirs, on construit une réduction de cette pyramide ; le côté de la base carrée mesure $7$~m.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'échelle de cette réduction.
		\item Calculer la hauteur de la pyramide réduite.
		\item Par quel nombre faut-il multiplier le volume $V$ de la pyramide du Louvre pour obtenir le volume $V'$ de la pyramide réduite ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Dans le plan d'un repère orthonormal (O, I, J) (unité 1 cm), placer
les points A(8~;~1), B(4~;~8) et C$(- 4~;~7)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{OA}}$ et $\vect{\text{CB}}$.
		
Que peut-on en déduire pour le quadrilatère OABC ?
		\item Calculer les distances OA et AB.
		\item Déduire des questions a. et b. que OABC est un losange.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'équation de la droite (OB).
		\item Déduire des questions 1. c. et 2. a. le coefficient directeur de la diagonale (AC). Justifier.
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit K (0~;~7,5).
		
Démontrer que K est le milieu du segment [BC].
		\item La droite (AC) coupe les droites (OB) en E et (OJ) en G.
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Que représente E pour le segment [OB] ? Justifier.
\item[$\bullet~~$] Montrer que G est le centre de gravité du triangle OBC.
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}