\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small septembre 1997} \lfoot{\small Amiens} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Amiens septembre 1997 \decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{Activités numériques} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip On considère les nombres : 3212 \[A = \dfrac37 - \dfrac23 \times \dfrac{12}{7} ; \quad B = 2\sqrt{63} + \sqrt{28} - \sqrt{175} ; \quad C = \left(3 - \sqrt 5\right)\left(3\sqrt 5 + 5\right)\] \begin{enumerate} \item Calculer $A$. Donner le résultat sous forme fractionnaire la plus simple possible. \item Écrire $B$ et $C$ sous la forme $a\sqrt b$, $a$ et $b$ étant deux nombres entiers positifs et $b$ étant le plus petit possible. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip Soit $E= (5x - 2)^2 - (x - 8)(5x - 2)$. \medskip \begin{enumerate} \item Développer, réduire et ordonner $E$. \item Factoriser $E$. \item Résoudre l'équation $(5x - 2)(2x + 3) = 0$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip Dans une classe de troisième de $28$ élèves, le professeur de mathématiques demande à chacun de ses élèves combien de temps ils regardent en général la télévision par jour. Les résultats sont répertoriés dans le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.25cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash \scriptsize}X|}}\hline Temps passé en minutes&$0\leqslant t < 30$&$30\leqslant t < 60$&$60\leqslant t < 90$&$90\leqslant t < 120$&$120\leqslant t < 150$&$t \geqslant 150$\\ \hline Nombre d'élèves &1 &5 &11 & 7 & 2 & 2\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Construire sur votre copie l'histogramme traduisant cette situation. Unités graphiques : $\left\{\text{\begin{tabular}{l l} en abscisse : 2 cm pour 30 minutes.\\ en ordonnée: 1 cm pour 1 élève. \end{tabular}}\right.$ \item Combien d'élèves regardent la télévision moins d'une heure par jour ? \item Combien d'élèves regardent la télévision au moins deux heures par jour? \item Quel est le pourcentage d'élèves de la classe qui passent au moins 1 heure et moins de 1 heure 30 devant la télévision par jour? (donner le résultat arrondi à l'unité). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Activités géométriques} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{minipage}{0.6\linewidth} L'unité de longueur est le centimètre. On considère le quadrilatère ABCD et les points H et K définis par la figure codée ci-contre. On donne : BC $= 8,5$ ;\quad CD $= 13$ ;\quad DK $= 4$ ;\quad BAK $= 30\degres$. (Sur le schéma, les dimensions ne sont pas respectées) \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.26\linewidth} \psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(3.5,3.8) \pspolygon(0.2,3.3)(0.2,0.3)(2.8,0.3)(1.2,1.3)%CDAB \psline[linestyle=dashed](0.2,1.3)(1.2,1.3)(1.2,0.3)%HBK \psframe(0.2,0.3)(0.4,0.5)\psframe(0.2,1.3)(0.4,1.1) \psframe(1.2,0.3)(1.4,0.5) \uput[r](2.8,0.3){A} \uput[ur](1.2,1.3){B} \uput[l](0.2,3.3){C} \uput[dr](0.2,0.3){D} \uput[l](0.2,1.3){H} \uput[d](1.2,0.3){K} \psarc(2.8,0.3){0.4}{150}{180}\rput(2.2,0.45){\footnotesize $30\degres$} \end{pspicture} \end{minipage} \begin{enumerate} \item Justifier que le quadrilatère BHDK est un rectangle. \item Démontrer que CH $= 7,5$. En déduire BK. \item Calculer AB. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip \begin{minipage}{0.44\linewidth} En optique, une lentille B convergente placée en O donne d'un objet [AB] une image renversée [CD]. On représente la situation par le schéma ci-contre. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.46\linewidth} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6.8,2.8) \pspolygon(0,2.2)(0,0.8)(6,0.8)(6,0.2)%BACD \psframe(0,0.8)(0.2,1)\psframe(6,0.8)(5.8,0.6) \uput[d](0,0.8){A} \uput[u](0,2.2){B} \uput[r](6,0.8){C} \uput[r](6,0.2){D} \uput[u](4.25,0.8){O} \end{pspicture} \end{minipage} On donne : AB = 60 cm, \quad OA = 2 m, \quad OC = 50 cm Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires à la droite (AC). Les droites (AC) et (BD) se coupent en O. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. \item En justifiant, calculer la longueur en centimètres de l'image [CD]. \item Déterminer, par le calcul, l'arrondi au degré de la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip Tracer sans explications mais en numérotant bien les figures : \begin{itemize} \item l'image F$_1$ de la figure F par la symétrie centrale de centre A ; \item l'image F$_2$ de la figure F par la symétrie orthogonale par rapport à la droite $(D)$ ; \item l'image F$_3$ de la figure F par la translation de vecteur $\vect{V}$. \end{itemize} \begin{center} \psset{unit=4mm} \begin{pspicture}(16,16) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt] \psline(4,16)(16,4) \pspolygon(5,11)(7,9)(9,9)(7,7)%motif F \rput(7.5,8.5){F} \psdots(9,6) \uput[dr](9,6){A} \psline{->}(3,1)(7,3) \uput[dr](5,2){$\vect{V}$} \uput[dl](16,4){$(D)$} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \textbf{Problème} \medskip \begin{minipage}{0.57\linewidth} Dans tout ce problème, l'unité de longueur est le centimètre. La figure ci-contre (qu'on ne demande pas de reproduire) représente un prisme droit ABCDEF dont la base ABC est un triangle rectangle en A. On donne : AB = 4 ;\quad AC = 6 ;\quad AD = 8. On note M un point quelconque de l'arête [AD] et on considère la pyramide MABC de sommet M et de base ABC. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.33\linewidth} \begin{center} \psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(3.8,4.4) %\psgrid \pspolygon(0.2,0.2)(3.2,0.6)(3.2,2.9)(0.2,2.5)%BCFE \psline(3.2,2.9)(1.2,4.1)(0.2,2.5)%FDE \psline[linestyle=dashed](1.2,4.1)(1.2,1.8)(3.2,0.6)%DAC \psline[linestyle=dashed](3.2,0.6)(1.2,2.4)(0.2,0.2)%CMB \psline[linestyle=dashed](3.2,0.6)(1.2,1.8)(0.2,0.2)%CAB \uput[l](1.2,1.8){A} \uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[r](3.2,0.6){C} \uput[u](1.2,4.1){D} \uput[l](0.2,2.5){E} \uput[r](3.2,2.9){F} \uput[ur](1.2,2.4){M} \psline(1.1,3.97)(1.28,3.83)(1.38,3.98) \psline(1.1,1.67)(1.28,1.53)(1.38,1.69) \end{pspicture} \end{center} \end{minipage} \textbf{Question préliminaire} \medskip Calculer le volume $V_1$ du prisme ABCDEF{}, exprimé en cm$^3$. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Dans cette partie, on pose DM $= 3$. \medskip \begin{enumerate} \item Expliquer brièvement pourquoi les triangles MAB et MAC sont des triangles rectangles. \item \begin{enumerate} \item Calculer la longueur MA. \item Construire la patron de la pyramide MABC. (on pourra commencer par dessiner la base ABC au centre de la feuille). \end{enumerate} \item Calculer le volume de la pyramide MABC. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on pose DM $= x$. \medskip \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs possibles pour $x$ ? \item Exprimer, en fonction de $x$, le volume $V$ de la pyramide MABC et montrer que $V = - 4x + 32$. \item \begin{enumerate} \item Retrouver le volume de la pyramide MABC obtenu dans la partie A. \item Déterminer par le calcul la valeur de $x$ telle que $V = \dfrac13 V_1$. ($V_1$ a été calculé en question préliminaire). Où se situe le point M dans ce cas ? \item Peut-on avoir $V= \dfrac12 V_1$ ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \item Dans le plan muni d'un repère orthogonal, représenter graphiquement le volume $V$ de la pyramide en fonction de la longueur $x$. On rappelle que $V= - 4x+ 32$. Le graphique sera fait sur votre copie, selon le modèle ci-dessous. On prendra : $\left\{\text{\begin{tabular}{l l} 1 cm pour unité sur l'axe des abscisses\\ 1 cm pour 2 unités sur l'axe des ordonnées. \end{tabular}}\right.$ \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=5mm} \begin{pspicture}(3,6) \psaxes[linewidth=1.2pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(3,6) \uput[d](2.9,0){$x$}\uput[r](0,5.9){Volume $V$} \end{pspicture} \end{center} \item Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes (tracer sur le graphique, les pointillés nécessaires). \begin{enumerate} \item Quelle est la valeur de $x$ pour laquelle $V = 12$~cm$^3$ ? \item Quel est le volume V correspondant à DM $= 2,5$ cm ? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}