\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Brevet}, pdftitle = {Angers--Nantes juin 1995}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{} \lhead{\small L'année 1995} \rfoot{\small Angers--Nantes} \lfoot{\small juin 1995} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Angers--Nantes juin 1995 \decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{PARTIE NUMÉRIQUE} \medskip \textbf{Exercice 1 \hfill 3 points} \medskip On donne $A = (2x - 10)(x + 4)-(x + 4)^2$. \medskip \begin{enumerate} \item Développer et réduire $A$. \item Factoriser $A$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2 : \hfill 2,5 points} \medskip Pour calculer l'aire $\mathcal{A}$ d'un trapèze, on donne, avec le dessin ci-dessous, la formule : \begin{minipage}{0.4\linewidth} $\mathcal{A} = \dfrac{a + b}{2} \times h$ \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.57\linewidth} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(5.8,4.2) \pspolygon(0,0.9)(5.6,0.9)(4.6,3.7)(2.2,3.7) \psline(3.4,0.9)(3.4,3.7) \psframe(3.4,0.9)(3.6,1.1) \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.2,0.9)(3.2,3.7)\uput[l](3.2,2.3){$h$} \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,0.6)(5.6,0.6)\uput[d](2.8,0.6){$b$} \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.2,3.9)(4.6,3.9)\uput[u](3.4,3.9){$a$} \end{pspicture} \end{minipage} \medskip Calculer l'aire, en cm$^2$, d'un trapèze tel que : \[a= \dfrac{7}{3}~\text{cm}\quad ; \quad b = \dfrac{9}{2}~\text{cm}\quad h = 4~\text{cm}.\] On donnera la valeur exacte sous forme de fraction irréductible, puis la valeur arrondie au mm$^2$. \medskip \textbf{Exercice 2 : \hfill 3,5 points} \medskip Voici, ci-après, un tableau (incomplet) indiquant la production voitures particulières, en 1993, de trois constructeurs français : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline Constructeurs &Renault &Peugeot&Citroën&Production totale\\ \hline Effectif &\np{1264628}&\np{946988}&&\np{2836280}\\ \hline Fréquence en \,\%&&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Recopier, en le complétant, le tableau ci-dessus. \item Quel nombre de voitures aurait produit le constructeur Renault s'il avait eu la possibilité d'augmenter sa production de 3\,\% ? \end{enumerate} \newpage \textbf{Exercice 4 : \hfill 3 points} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre le système : \[\left\{\begin{array}{l c l} \phantom{7}x + \phantom{7}y &=& 20 \\ 7x + 4y &=& 104 \end{array}\right.\] \item Un camion transporte 20 caisses de masses différentes : les unes pèsent $28$ kg, les autres $16$ kg. Sachant que la masse totale de ces caisses est $416$ kg, combien y a-t-il de caisses de chaque catégorie ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE} \medskip \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \medskip La figure concernant cet exercice se fera sur une feuille millimétrée. Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, I, J) tel que OI = OJ = 1~cm. \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points : A$(-2~;~-3)$ ; B(2~;~5) et C(8~;~3). \item Donner une équation de la droite (AB) (on ne demande pas de justifier). \item Démontrer que le milieu M du segment [AC] a pour coordonnées (3~;~0). \item On place le point D tel que ABCD est un parallélogramme. Calculer les coordonnées du point D. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2 \hfill 4 points} \medskip (Dans cet exercice on réalisera le dessin demandé sur une feuille à part.) On commencera le dessin au centre de la feuille. On considère un losange ABCD tel que AC $= 6$ cm et BD $= 4 $cm. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1.1,-1.8)(1.1,1.8) \pspolygon(-1.1,0)(0,-1.6)(1.1,0)(0,1.6)%BADC \uput[l](-1.1,0){B} \uput[d](0,-1.6){A} \uput[r](1.1,0){D} \uput[u](0,1.6){C} \rput(0,0){$\mathcal{L}_1$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Dessiner le losange ABCD en vraie grandeur. On appelle $\mathcal{L}_1$ ce losange. \item Construire le symétrique $\mathcal{L}_2$ du losange $\mathcal{L}_1$ par rapport à la droite (AD). \item Construire l'image $\mathcal{L}_3$ du losange $\mathcal{L}_1$ dans la translation de vecteur $\vect{\text{CB}}$. \item Construire l'image $\mathcal{L}_4$ du losange $\mathcal{L}_1$ dans la translation de vecteur $\vect{\text{CB}} + \vect{\text{CD}}$. (Les lettres $\mathcal{L}_2$ ,$\mathcal{L}_3$ ,$\mathcal{L}_4$ seront écrites sur le dessin.) \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 3 \hfill 4 points} \medskip Pour cet exercice on donne les valeurs suivantes : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{3}{X}} $\sin 30\degres = \dfrac{1}{2}$&$\cos 30\degres = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$&$\tan 30\degres = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$\\ $\sin 60\degres = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$&$\cos 30\degres = \dfrac{1}{2}$&$\tan 30\degres = \sqrt{3}$\\ \end{tabularx} \end{center} On considère un pavé droit ABCDEFGH. On donne : CG $= 4$~cm $\widehat{\text{CEG}} = 30\degres \quad \widehat{\text{GEF}} = 60\degres \quad \widehat{\text{CGE}} = 90\degres$. \begin{minipage}{0.48\linewidth} Sur le dessin ci-contre, qu'on ne demande pas de reproduire, les dimensions et les proportions ne sont pas respectées. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le segment [EG] mesure $4\sqrt{3}$~cm. \item Calculer la mesure exacte de l'arête [FG]. \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.48\linewidth} \psset{unit=1.35cm} \begin{pspicture}(-1,0)(4,3.3) %\psgrid \psframe(0.2,0.2)(2.7,2)%FGCB \psline(2.7,0.2)(3.6,1.3)(3.6,3.1)(2.7,2)%GHDC \psline(3.6,3.1)(1.1,3.1)(0.2,2)%DAB \psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.1,1.3)(3.6,1.3)%FEH \psline[linestyle=dashed](1.1,3.1)(1.1,1.3)(3.6,3.1)%AED \psline[linestyle=dashed](1.1,1.3)(2.7,0.2)%EG \psarc(1.3,1.3){0.3}{-52}{54} \uput[ul](1.1,3.1){A} \uput[l](0.2,2){B} \uput[dr](2.7,2){C} \uput[ur](3.6,3.1){D} \uput[ul](1.1,1.3){E} \uput[dl](0.2,0.2){F} \uput[dr](2.7,0.2){G} \uput[r](3.6,1.3){H} \end{pspicture} \end{minipage} \bigskip \textbf{PROBLÈME \hfill 12 points} \medskip On considère un cercle de centre O et de rayon 4 cm. On note [AB] un diamètre de ce cercle. La médiatrice du segment [OB] coupe le cercle en C et D, et coupe la droite (OB) en M. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que le triangle ABD est un triangle rectangle. \item Justifier que OC = OD et que OD = DB. \item Démontrer que le quadrilatère ODBC est un losange. \item Calculer la valeur exacte de la longueur MC. \item Placer sur la droite (CB) le point E tel que CE $= 3$ CB et tel que B soit sur le segment [CE]. On note F le projeté orthogonal de E sur la droite (CD). \begin{enumerate} \item Démontrer que les droites (MB) et (EF) sont parallèles. \item Calculer les longueurs FE et FC. \end{enumerate} \item On appelle G le symétrique du point E par rapport à la droite (CF). \begin{enumerate} \item Démontrer que les points C, O, G sont alignés. \item Démontrer que le triangle CGE est un triangle équilatéral. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}