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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1960}
\rfoot{\small Antilles-Guyane}
\lfoot{\small février 1960}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Antilles-Guyane février 1960~\decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On considère les deux polynômes suivants :

\begin{center}$P = 9x^2 - 6x + 1$\qquad  et \qquad $Q = x^2
+ 6x + 9$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer $P + Q,\: P - Q,\: P^2 - Q^2$.
\item L'expression $P + Q$ peut-elle être nulle ?

Quelle est sa plus petite valeur numérique possible ?
\item $P$ et $Q$ sont les carrés de binômes du premier degré.

Quels sont ces binômes ?

Utilisez cette remarque pour mettre $P - Q$ sous forme d'un produit de facteurs.
\item Construire les graphiques représentant les variations des fonctions
\begin{center}$y_1 =  3x - 1$ \qquad et \qquad $y = 3 + x.$\end{center}

Déterminer l'abscisse du point d'intersection des deux courbes représentatives.

Pour celle valeur $x$, quelle relation y a-t-il entre les valeurs numériques correspondantes de $P$ et $Q$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC dont les côtés ont pour mesures 
\begin{center}AB $= 9$~cm,\quad AC $= 5$~cm,\quad  BC $= 7$~cm.\end{center}

Construire la bissectrice intérieure [A$z$) de l'angle $\widehat{\text{A}}$ ; elle coupe (BC) en D.

Déterminer sur A$z$ le point E tel que BE = BD et le point F tel que CF = CD.
\item Établir la similitude des triangles ABE et ACD.

Écrire les égalités de rapports qui en résultent.

Montrer que $\dfrac{\text{DB}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{DC}}{\text{AC}}$.

Comment pouvez-vous énoncer ce résultat ?
\item Établir le même résultat à l'aide de deux autre triangles semblables.
\item Évaluer le rapport $\dfrac{\text{DE}}{\text{DF}}$.
\item Soit G le point tel que C soit le milieu de FG.

La droite (EG) coupe (BC) en D$'$.

Montrer que $\dfrac{\text{D}'\text{B}}{\text{D}'\text{C}} = \dfrac{\text{DB}}{\text{DC}}$ et que $\dfrac{\text{D}'\text{B}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{D}'\text{C}}{\text{AC}}$.
\item Calculer DB,\: DC,\: D$'$B,\: D$'$C\: (des réponses exactes, mais sans justification, ne seront pas notées).
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{N. B. -} La dernière question peut être traitée en admettant les résultats des questions 2. et 5.
\end{document}