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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Antilles juin 1951~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Soient deux axes de coordonnées rectangulaires O$x$ et O$y$ ; le centimètre est pris pour unité.

\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $\left(D_1\right)$ qui représente la fonction 
\[y = - \dfrac 34 x + 6.\]

Repérer le point A où elle coupe O$x$ et le point B où elle coupe O$y$.
\item Ajouter au graphique précédent la droite $\left(D_2\right)$ 
\[y = - \dfrac 43 x.\]
\item Lire sur le graphique les coordonnées approchée
à 0,1 près du point H commun aux deux droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.
\item Calculer ensuite les coordonnées exactes du point H.
\item Calculer exactement la distance OH.
\item Signaler une propriété de la droite (OH).

Vérifier la valeur trouvée pour OH en calculant OH par une autre méthode.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Deux droites perpendiculaires X$'$PX et Y$'$PY se coupent  en P{}.

Sur PX$'$ on marque le point A à la distance PA $= 6$~cm et sur PX le point C à la distance 

PC $= 4$~cm.

Sur PY$'$ on marque B à la distance PB $= 8$~cm.

Soit D le point de PY tel que $\widehat{\text{PCD}} = \widehat{\text{PBA}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que dire des triangles PAB et PDC.

Calculer AB, CD et PD.
\item La perpendiculaire menée de P à la droite (AB) coupe (AB) en H et (CD) en M.

Démontrer que les triangle MDP et MPC sont isocèles.

Que dire du point M ?
\item Calculer la longueur MH.
\item Montrer que le quadrilatère ABCD est inscriptible dans un cercle.

Indiquer une construction simple du centre O et calculer la longueur OP{}.
\end{enumerate}
\end{document}