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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 1960}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Antilles-Guyane juin 1960\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Décomposer l'expression 
\[E =  \left(\dfrac52 x + 2y - \dfrac{17}{2}\right)^2 - \left(\dfrac12 x + 3y + \dfrac{7}{2}\right)^2\]

en un produit de facteurs.
		\item Écrire ce produit si l'on remplace $x$ par $0$ dans le
résultat obtenu.
		\item Résoudre l'équation en $y$ obtenue en égalant le
nouveau produit à zéro.
	\end{enumerate}
\item Résoudre le système
\[\left\{\begin{array}{l c l}
\phantom{1}3x + 5y - 5 &=& 0,\\
12x - \phantom{1}y - 12 &=&0
\end{array}\right.\]

par le calcul et vérifier le résultat par le graphique en traçant les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ représentant respectivement les deux équations du système.

Le point C$(- 5~;~4)$ est-il sur la droite (Dl) ?
\item Quelle est l'équation de la droite (AB) joignant le point A d'intersection des droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ au point B$(- 5~;~- 12)$ ?
\item Trouver les coordonnées du milieu, M, du segment [BC] et en déduire l'équation de la médiane [AM] du triangle ABC.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

[AB] et [CD] sont deux diamètres perpendiculaires d'un cercle de centre O et de rayon $R$.

Soit I le milieu du rayon [OC].

La droite (AI) recoupe le cercle en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les triangles AOI et AEB sont semblables.
		\item En déduire que EB est la moitié de AE.
		\item Calculer en fonction de $R$ les longueurs AI, EB, AE.
	\end{enumerate}
\item La corde [DE] coupe le rayon [OB] en P et la parallèle à (EA) menée par B en M.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la forme du triangle EBM ?
		\item Comparer les triangles PBM et PAE et montrer
que le rapport $\dfrac{\text{PB}}{\text{PA}}$ est égal à $\dfrac12$.
		\item Retrouver ce résultat en utilisant une propriété de [EP] dans le triangle AEB.
	\end{enumerate}
\item K étant l'intersection des droites (AM) et (EB), quel est le rapport de similitude des triangles KMB et KEA ?

Que représente P dans le triangle KAE ?
\item Indiquer la valeur du sinus et de la tangente de $\widehat{\text{A}}$ dans le triangle rectangle AOI.
\end{enumerate}
\end{document}