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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1967}
\rfoot{\small Antilles-Guyane}
\lfoot{\small juin 1967}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Antilles-Guyane juin 1967 \decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

Soit un triangle rectangle ABC tel que les côtés de l'angle droit, [AB] et [AC], soient respectivement égaux à $c$ et $b$.

Dans ce triangle, on inscrit un rectangle variable ADFE (D sur [AB], E sur [AC], F sur [BC]).

On appelle $x$ la longueur du côté [AD].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établir, en fonction de $x$, de $b$ et de $c$, l'expression de la valeur du demi-périmètre du rectangle.

\emph{Application numérique} : $b = 25$ mm et $c = 50$~mm.

Étudier, dans ce cas, les variations de la fonction obtenue quand $x$ varie de 0 à 50 mm.

Pour quelle valeur de $x$ le rectangle est-il un carré?
\item Représenter graphiquement ces variations. (Porter en abscisses les valeurs de x et en ordonnées celles du demi-périmètre. )
\item Dans le cas où $b = c = 25$ mm, quelle remarque peut-on faire en ce qui concerne les variations du demi--périmètre et leur représentation graphique ?

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un trapèze rectangle, ABCD, dont les bases sont telles que  BC $= 4a$, AD $= 9a$ ($a$ étant une longueur donnée).

Le côté oblique, [CD], a une longueur égale à la somme de celles des bases.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une construction de ce trapèze.

Calculer la longueur AB en fonction de $a$.
\item Sur [CD], à partir de C, on prend un point H tel que CH = CB et l'on élève en H la perpendiculaire à (CD), qui coupe (AB) en M.

On trace [MC] et [MD]. Démontrer que le triangle CMD est rectangle en M.
\item Calculer la longueur de la hauteur MH de ce triangle, ainsi que celles de ses côtés [CM] et [MD].
\item On prolonge les côtés [AB] et [DC] jusqu'à leur rencontre, en F.

Calculer FB et FC.
\end{enumerate}
\end{document}