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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Antilles}}
\rfoot{\small{septembre 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle septembre 1959~\decofourright\\[7pt]
Antilles}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On considère les rectangles dont la largeur $x$ et la longueur $y$ sont proportionnelles à 3 et 5.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la surface du rectangle dont le périmètre mesure $80$~mètres.
\item On augmente de 1 mètre les dimensions de tous les rectangles de la famille envisagée.

Exprimer le périmètre de ces rectangles en fonction de la largeur $x$ et construire la représentation graphique de cette fonction.
\item Déterminer la largeur du rectangle de la question 2. qui a $20$~mètres de périmètre :
	\begin{enumerate}
		\item par l'examen du graphique ;
		\item par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On considère le triangle isocèle AOB tel que OA = OB, inscrit dans un cercle.

Une sécante issue de O coupe le côté [AB] en D et le cercle circonscrit en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles OAD et OEA.

En déduire que 
\begin{center}OA$^2$ = OD $\cdot$ OE.\end{center}
\item La relation de la question précédente reste-t-elle vraie si D est sur le prolongement du côté [AB] ?
\item Préciser la position du segment [OA] par rapport au cercle circonscrit au triangle ADE.

Sur quelle ligne simple se trouve le centre de ce cercle lorsque D se déplace ?
\end{enumerate}
\end{document}