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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Antilles-Guyane septembre 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Les sommets d'un triangle ABC ont pour coordonnée A(4~;~2), \:B$(0~;~-1)$,\: C$(7~;~- 2)$.

(Les unités sont les mêmes sur les deux axes.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs AB, AC, BC.

De la comparaison de ces longueurs déduire deux particularités du triangle ABC.
\item Former les équations des droites qui portent les médianes issues de B et de C.

Coordonnées de leur point d'intersection, G.
\item Montrer, par le calcul, que les points A, G et le milieu, M, de [BC] sont alignés.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On considère un carré ABCD, de centre O. Soit M un point de la demi-diagonale OD.

(AM) coupe (CD) en N et le prolongement du côté [BC] en P.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles AMD et PMB, puis le triangles AMB et NMD.

En déduire la relation AM$^2 =$ ~MN $\times$ MP{}.
\item Montrer que le cercle passant par les trois points N, C, P est tangent en C à (MC).
\item On suppose que le côté du carré a pour valeur $a$ et que $\dfrac{\text{MD}}{\text{MB}} = \dfrac13$.

Calculer les longueurs CN, CP et NP.
\end{enumerate}
\end{document}