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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Antilles--Guyane}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Antilles--Guyane septembre 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire sous la forme $a\sqrt b$ ($a$ et $b$ étant des nombres entiers) le nombre 

\[\sqrt{27} + 2\sqrt{12} - \sqrt{75}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Résoudre dans $\R$ l'équation :

\[\dfrac{2x+3}{8} - \dfrac{5x-5}{12} = \dfrac56.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Factoriser l'expression $A(x)$ :

\[A(x) = (2x - 3)^2+ (2x - 3)(x + 9) - 4x^2 + 9.\]

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Résoudre le système suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x + 3y - 7 &=&0\\
- x + 4y -2&=&0
\end{array}\right.\]

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

La figure ci-dessous représente un cube de côté
$3$~cm.

\medskip

\begin{minipage}{0.50\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère EFGH ?

Le représenter dans le plan de la feuille et calculer FH.
\item Quelle est la nature du triangle BFH ? Pourquoi ? Le représenter dans le plan de
la feuille et calculer BH.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.42\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,4.7)
\psframe(1.5,0.2)(4.7,3.4)%HGCD
\psline(1.5,0.2)(0.4,1.3)(0.4,4.5)(1.5,3.4)%HEAD
\psline(0.4,4.5)(3.6,4.5)(4.7,3.4)%ABC
\psline[linestyle=dashed](4.7,0.2)(3.6,1.3)(0.4,1.3)%GFE
\psline[linestyle=dashed](3.6,1.3)(3.6,4.5)%%FB
\uput[ul](0.4,4.5){A} \uput[ur](3.6,4.5){B} \uput[r](4.7,3.4){C} \uput[dl](1.5,3.4){D}
\uput[l](0.4,1.3){E} \uput[r](3.6,1.3){F} \uput[dr](4.7,0.2){G} \uput[dl](1.5,0.2){H}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Construire un triangle ABC tel que AB
$= 5$ cm; BC $= 4$ cm et AC $= 7$ cm.

\emph{On justifiera la démarche suivie.}

Soit M le point du segment [AB] tel que AM $= 2$ cm.

La parallèle à la droite (AC) menée par M coupe la droite (BC) en N.

Calculer BM, BN et NC.

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les deux applications $f$ et $g$ définies pour tout $x$ positif par :

\[
f(x) = 4x + 150 , \qquad g(x) = 4x + 50.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer les images par $f$ et $g$ de $100$ et de $280$.
		\item Résoudre dans $\R_+$ l'équation $f(x) = g(x)$.
		\item Résoudre dans $\R_+$ l'inéquation $f(x) \leqslant g(x)$.
	\end{enumerate}
\item Le plan est rapporté à un repère d'axes orthogonaux. On choisit pour unité :

- sur l'axe des abscisses 1 cm pour $20$~unités; 
- sur l'axe des ordonnées 1 cm pour $50$~unités.

Construire les représentations graphiques de $f$ et de $g$ pour $x$ compris entre $0$ et $300$.
\item Deux agences de location de voitures proposent le formules suivantes :

Agence F : $0,75$ F par kilomètre et $150$ F de frais fixés.

Agence G : $1,25$ F par kilomètre et $50$ F de frais fixés.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $x$ le nombre de kilomètres parcourus.
Montrer que le prix demandé par l'agence F est $f(x)$.

Montrer que le prix demandé par l'agence G est $g(x)$.
		\item En utilisant les résultats du 1 ou du 2, préciser quelle est l'agence la moins chère pour parcourir 100~km? $280$~km ? $200$~km ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}