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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rfoot{\small{juin 1952}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Antilles juin 1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

Soit l'expression
\[E=(2x - 5)(x - 1)  + (2x - 5)^2 - (5x - 8)(2x - 5).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire cette expression, puis l'ordonner par rapport aux puissances décroissantes de $x$.
\item Décomposer l'expression donnée en un produit de facteurs.

Trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles on a
$E = 0$.
\item Représenter graphiquement les variations des deux fonctions
\begin{center}$y_1 = 2x - 5$\qquad  et \qquad $y_2 = 1 - x$.\end{center}

Calculer les coordonnées de leur point d'intersection P{}.

Vérifier graphiquement les résultats obtenus.
\item Déterminer l'équation de la droite (OP).

Quelle est sa position par rapport à la droite représentant la fonction $y_1 = 2x -
5$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$.

On construit en A et B les deux tangentes A$x$ et B$y$ et l'on prend un point C sur la demi-cercle.

(AC) coupe B$y$ en N et (BC) coupe A$x$ en M.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les deux triangles AMB et ANB sont semblables et en déduire la relation
\begin{center}AB $\times $ BN $= 4R^2$.\end{center}
\item Soient D le milieu de [AM] et E le milieu de [BN].

Démontrer que les points D, C, E sont alignés et que la droite (DE) est tangente en C au demi-cercle.
\item Dans le cas où l'angle $\widehat{\text{CAB}}$ vaut $60\degres$, calculer, en fonction de $R$, la longueur des côtés, des diagonales et l'aire du trapèze AMNB.
\end{enumerate}
\end{document}