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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1996}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Antilles--Guyane juin 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ et $B$. On donnera les résultats sous la forme la plus simple possible.

\[A = \dfrac13 \times 4 + \dfrac76\,; \qquad  B = \dfrac25 \times \dfrac34 - \dfrac{2}{1 - \dfrac27}\]

\item Développer et donner le résultat sous la forme $a + b \sqrt 5$ où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs:

\[C = 2 \times \left(3 - 2 \sqrt 5\right)^2.\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit l'expression $D = - 2 x (3x - 5) + (x + 7)(3x - 5)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer puis réduire $D$.
\item Calculer $D$ pour $x = \dfrac53$. 
\item Factoriser $D$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation : $- 4 y + 12 \geqslant - 9$.
\item Représenter graphiquement l'ensemble des solutions de cette inéquation.
\item Préciser les valeurs entières positives ou nulles de y qui sont solutions
de l'inéquation.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Soit ABC un triangle rectangle en A.

On sait que la longueur AC est le double de la longueur AB.

On note $x$ la longueur en centimètres de [AB].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer l'aire du triangle ABC en fonction de $x$.
\item Pour quelle valeur de $x$ l'aire vaut-elle $64$ cm$^2$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit ABC un triangle isocèle de base [BC], [AH] la hauteur issue du sommet A.

On a : BC $= 8$ cm et AH $= 7$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le triangle ABC en justifiant la construction.
\item Calculer $\tan \widehat{\text{B}}$
\item En déduire la valeur de l'angle $\widehat{\text{B}}$ arrondie au degré près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On se donne une pyramide P$_1$ ayant une base carrée de $8$ cm de côté et une hauteur de $12$~cm.

Une pyramide P$_2$ est un agrandissement de P$_1$ dont un côté de la base mesure $20$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le coefficient de l'agrandissement. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume de la pyramide P$_1$.
		\item Calculer le volume de la pyramide P$_2$.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Rappel :}

Le volume d'une pyramide est donné par la formule : $V = \dfrac13 B h$ où $B$ désigne l'aire de la base et $h$ la hauteur.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit un triangle PIF tel que PI $= 5$ cm ; PF $= 6$ cm ; IF $= 8$ cm.

L est un point du segment [PI] tel que IL $= 2$ cm et A un point du segment [PF] tel que PA~$=~3,6$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure.
\item Calculer la longueur PL.
\item Démontrer que la droite (LA) est parallèle à la droite (IF).
\item Calculer la longueur LA.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre.

Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O, I, J), on considère les points : 

\begin{center}M$(- 3~;~- 1)$ ;\quad N(3~;~1)\quad et\quad  P(1~;~7).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure sur papier millimétré.
\item Calculer les distances exactes MN, NP et PM.
\item Montrer que le triangle MNP est isocèle et rectangle en N.
\item Calculer les coordonnées du milieu du segment [MN].
\item La parallèle à la droite (NP) passant par O coupe la droite (MP) en K.

Que représente le point K pour le segment [MP] ? Justifier la réponse. 

En déduire les coordonnées du point K.
\item Déterminer une équation de la droite (OK).
\item Montrer que le coefficient directeur de la droite (NP) est égal à $- 3$. 

Déterminer une équation de la droite (NP).
\item Construire le point Q translaté du point P dans la translation de
vecteur $\vect{\text{NM}}$.

Montrer que le quadrilatère MNPQ est un carré.
\end{enumerate}
\end{document}
\begin{enumerate}
\item 
\end{enumerate}