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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1997}
\lfoot{\small Antilles--Guyane}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Antilles--Guyane juin 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer les valeurs exactes des nombres suivants : on donnera les résultats sous la forme fractionnaire la plus simple possible.

\[A = \dfrac43 - \dfrac23 \times \dfrac58\qquad
B = \dfrac58 \times  \left(\dfrac{6}{15} + \dfrac45\right).\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire les nombres suivants sous la forme $a\sqrt b$, $a$ et $b$ étant deux
entiers avec $b$ le plus petit possible.

\[C = 5\sqrt{27} - 2\sqrt{75} + 3\sqrt{3} \qquad 
D = 2\sqrt{75} \times  \sqrt{6}\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit $E = (3x - 5)(2x + 1) - (3x - 5)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$. 
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation $(3x - 5)( -x + 6) = 0$.
\item Calculer la valeur de l'expression $E$ pour $x = \dfrac53$.
\end{enumerate}


\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système des deux équations suivantes :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
20x + 30y &=& \np{1800}\\
\phantom{2}7x + \phantom{30}y &=& 250.
\end{array}\right.\]

\item Pour l'organisation d'une fête à l'école, un commerçant fournit $20$ packs de boissons gazeuses et $30$ packs de jus.

À la livraison, il remet sa facture d'un montant de \np{1800,00} francs payable après la fête.

Après la fête, le commerçant récupère les invendus : $7$ packs de boissons gazeuses et un pack de jus dont le montant s'élève à $250,00$ francs.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le prix d'un pack de boisson gazeuse ?
		\item Quel est le prix d'un pack de jus ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.62\linewidth}


Un pot à fleurs a la forme d'un tronc de cône. 

Ses deux disques de base ont $10$ cm et $20$ cm de rayon.

La distance entre leurs centres O et O$'$ est $30$ cm.

Sur la figure (OA)et (O$'$A$'$) sont parallèles.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-1.1,-2.4)(1.1,0.4)
%\psgrid
\psellipse(0,0)(1.1,0.35)
\psellipticarc(0,-1.1)(0.48,0.12){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,-1.1)(0.48,0.12){0}{180}
\psline(-1.1,0)(-0.48,-1.1)\psline(1.1,0)(0.48,-1.1)
\psline[linestyle=dashed](-0.48,-1.1)(0,-2)(0.48,-1.1)
\psline[linestyle=dashed](0,-2)(0,0)(1.1,0)%SOA
\psline[linestyle=dashed](0,-1.1)(0.48,-1.1)%O'A'
\uput[l](0,0){\footnotesize O} \uput[r](1.1,0){\footnotesize A} \uput[ul](0,-1.1){\footnotesize O$'$}
\uput[r](0.48,-1.1){\footnotesize A$'$} \uput[d](0,-2){\footnotesize S}
\end{pspicture}
\end{minipage}


\begin{enumerate}
\item Montrer que $\dfrac{\text{SO}'}{\text{SO}} = \dfrac12$.

Montrer que SO $= 60$ cm.
\item Calculer le volume du cône de sommet S et de base le disque de centre O.
\item Calculer le volume du pot.

(On ne demande pas de refaire la figure.) 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

PAR est un triangle rectangle en A et tel que :

AP $= 3,6$ cm,\quad  AR $= 4,8$ cm.

H est le projeté orthogonal de A sur la droite (RP).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure.
\item Calculer la longueur du côté [PR].
\item Calculer l'aire du triangle PAR. En déduire AH.
\item Calculer $\sin \widehat{\text{APR}}$.

En déduire l'arrondi au degré près de la valeur de l'angle $\widehat{\text{APR}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

On réalisera la figure sur une feuille de papier millimétré. Le plan est rapporté à un repère orthogonal (0, I, J) tel que 01 = OJ = 1 cm.
(La figure sera complétée au fur et à mesure du problème.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A(2~;~4) ; B(5~;~1) ; et C$(- 3~;~- 1)$.
\item Calculer AB$^2$ ; AC$^2$ et BC$^2$.

En déduire la nature du triangle ABC.
\item Calculer les coordonnées du milieu K de [BC] et vérifier que ce sont celles de I.
\item Soit E le symétrique de I par rapport à la droite (AC).

Construire E et déterminer graphiquement ses coordonnées.

Montrer que le quadrilatère AICE est un losange.
\item Vérifier que $y = 4 x + 11$ est une équation de la droite (CE). 

Donner une équation de la droite (AB).
\item Les droites (CE) et (AB) se coupent en F.

Calculer les coordonnées de F et vérifier graphiquement le résultat obtenu.
\end{enumerate}
\end{document}