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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Asie du Sud-Est}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Asie du Sud-Est juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Simplifier l'écriture des réels suivants (on donnera les valeurs exactes les plus simples possible et non des valeurs approchées) :

\[a = \dfrac13 - 3\:;\qquad  b = \dfrac{\dfrac37}{9}\:;\qquad c = \dfrac34 - \dfrac56 + 2\:;\qquad  d = \left(3\sqrt{12} \right) \times \left(\sqrt{24}\right).\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

$a = \sqrt 5 + 3 \: ;\quad b = \sqrt 5 - 3$.

Calculer $a^2,\:  b^2$ et $ab$.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre dans $\R$ :

\[1 - \dfrac34 x < 7.\]


\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Dans un collège il y a 52\,\% de filles et $264$ garçons. 

Calculer le nombre d'élèves du collège.

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
Le plan est rapporté au repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points: A(5~;~0)\:;\: B$\left(0~;~\dfrac52\right)$\:;\: C(1~;~2).
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.

Démontrer que les trois points, A, B et C sont alignés.
\item Démontrer que les droites (OC) et (AB) ont perpendiculaires.
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
On considère un cône de sommet S.

Sa base est un cercle de centre R et de rayon RA $= 5$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1.8,-1)(1.8,4.7)
\psellipticarc(0,0)(1.8,1){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(1.8,1){0}{180}
\psline(1.75,0.2)(0,4.3)(-1.75,0.2)
\pspolygon(0,4.3)(0,0)(1.52;205)
\psline(0,0.2)(-0.2,0.11)(-0.2,-0.12)
\uput[u](0,4.3){S} \uput[r](0,0){R} \uput[dl](1.8;205){A}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

On donne l'extrait de table:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Degrés &Sin&Cos\\ \hline
23 	&0,391&0,921\\ \hline
24 	& 0,407&0,914\\ \hline
25 	&0,423&0,906\\ \hline
26	&0,438&0,899\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le triangle SRA est rectangle en R.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire la relation de Pythagore pour ce triangle.
		\item AS $= 12$. Calculer la hauteur SR.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\sin \widehat{\text{ASH}}$.
		\item En déduire l'angle $\widehat{\text{ASH}}$ à 1 degré près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Un libraire a payé 60 F l'achat de 10 stylos \og FAN \fg{} et 2 livres \og BIL \fg{}.

Pour la même somme, un autre libraire achète 5 stylos \og FAN \fg{} et 3 livres \og BIL \fg{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $a$ le prix en francs d'un stylo, par $b$ le prix en francs d'un livre.
	\begin{enumerate}
		\item Traduire les deux renseignements précédents par un système d'équations.
		\item Trouver le prix d'un stylo et celui d'un livre.
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans un repère orthogonal ($0,5$~cm pour unité sur l'axe des abscisses, $1$~cm pour unité sur l'axe des ordonnées), tracer la droite $(\Delta)$ d'équation $y= -\dfrac x5 + 4$ en précisant les points utilisés.
		\item Utiliser le graphique pour trouver tous les couples $(x~;~y)$ d'entiers naturels qui vérifient $y= -\dfrac x5 + 4$.
		
Citer ces couples.
	\end{enumerate}	
\item Un troisième libraire achète lui aussi des stylos \og FAN \fg{} et des livres \og BIL \fg{} pour la somme totale de $60$~F.

On désigne par $x$ le nombre de stylos et par $y$ le nombre de livres.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire l'équation que doivent vérifier $x$ et $y$.
		\item Montrer que cette équation peut aussi s'écrire $y= -\dfrac x5 + 4$.
		\item Utiliser le b. pour trouver toutes les possibilités d'achat
offertes à ce troisième libraire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}