\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Barcelone juin 1955},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Barcelone}}
\rfoot{\small{juin 1955}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Barcelone juin 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'expression $25x^2 - 49$ est le produit de deux binômes du premier degré et que le polynôme $25x^2 - 70x + 49$ est le carré d'un binôme du premier degré.
\item Montrer que l'expression algébrique
\[S = \dfrac{ 5x+ 7}{25x^2 - 70x + 49} + \dfrac{10x}{25x^2 - 49}\]

peut se mettre après simplification sous la forme
\[\dfrac{A}{ax+ b}\]
où $A, a$ et $b$ sont des nombres indépendants de $x$.
\item Construire la droite $D$ qui représente les variations de
\[y = \dfrac AS.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

On considère un triangle ABC.

La bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{\text{A}}$ rencontre [BC] au point D.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Indiquer avec précision la construction du cercle passant par A et tangent à (BC) au point D.

Ce cercle coupe en E et F les côtés [AB] et [AC].
\item Démontrer que (EF) est parallèle à (BC) et établir les relations
\begin{center}AE $\times$ AC = AF $\times$ AB = AD$^2$.\end{center}
\item Montrer que les cercles circonscrits aux triangles
BED et CFD admettent au point D une même droite tangente.
\end{enumerate}

\smallskip

{\small \textbf{N. B. -} La construction de la question 1. sera résolue lors-
qu'on donnera la position du centre du cercle et la grandeur de son rayon.}
\end{document}