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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Barcelone}}
\rfoot{\small{juin 1960}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Barcelone juin 1960\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Un automobiliste roule à $75$~km/h en moyenne ; dans ces conditions, sa consommation en carburant est $8$ litres pour $100$~km de parcours.

Le réservoir de cette automobile a une contenance de $30$~litres.

À 0~heure de la nuit, l'automobiliste part d'une ville A, après avoir fait le plein.

\medskip

\textbf{N. B. -} \emph{\small Tous les graphiques seront tracés en tenant compte des quantités de carburant qui peuvent effectivement être consommées.}

\emph{\smallÉchelles imposées : $3$ cm pour une heure, $1$ cm pour $25$ km, $2$ cm pour $5$ litres de carburant.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la consommation horaire en carburant du véhicule ?

Quelle est, à l'heure $t$, la quantité $v$ de carburant restant dans le réservoir ?

Tracer le graphique représentant les variations de $v$ en fonction de $t$.
\item Quelle est la quantité $u$ de carburant restant dans le réservoir après un parcours de $x$ km ? Tracer le graphique représentant les variations de $u$ en fonction
de $x$.
\item Normalement, l'automobiliste ne vide jamais complètement son réservoir, mais, dans la mesure du possible, fait de nouveau le plein quand il ne reste plu que 5 litres de carburant dans le réservoir.

À quelle heure et à quelle distance de A, l'automobiliste devra-t-il de nouveau faire le plein ?

Comment peut-on utiliser les graphiques précédent pour résoudre cette question 3. ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

Soit un demi-cercle de centre O de rayon $R$.

Sur la droite contenant un diamètre on prend un point A à la distance $2 R$ du centre O.

On mène une sécante quelconque au demi-cercle coupant celui-ci en B et C.

Les tangentes en B et C se coupent en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les particularités du quadrilatère OBMC (angles, côtés, diagonales) ?
\item (OM) coupe (BC) en I et la perpendiculaire (MP) à (OA) coupe le demi-cercle en T.

Comparer les triangles OIA et OMP.

Établir la relation OA $\cdot$ OP = OM $\cdot$ OI.
\item En déduire que l'on a OA $\cdot$ OP  $= R^2$ ; calculer OP en fonction de $R$ et montrer que (AT) est tangente au demi-cercle.
\item Quand le quadrilatère OBMC est un carré, calculer en fonction de $R$ les longueurs BC et MP.
\item Calculer également dans ce cas particulier $\tan \widehat{\text{MAP}}$ 
et déterminer à l'aide de la table la valeur de $\widehat{\text{MAP}}$, à 1 degré près par défaut.
\end{enumerate}
\end{document}