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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Barcelone}}
\rfoot{\small{juin 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Barcelone juin 1962}}

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.

\smallskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système d'équations 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x - y &=& 0,\\
x- 2y + 1 &=&0.
\end{array}\right.\]

\item Soient $D$ la courbe représentative de la fonction
$y = x$ et $D'$ la courbe représentative de la fonction 
$y = \dfrac x2 + 2$.

Les tracer soigneusement, en prenant pour unité $1$~cm sur les axes de coordonnées O$x$ et O$y$.
\item $D$ et $D'$ se coupent en A.

Montrer que le calcul des coordonnées de A entraîne la résolution du système d'équations de la question 1.
\item $D'$ coupe l'axe des abscisses en B.

En A, on élève la perpendiculaire à $D'$, qui coupe O$x$ en C.

Calculer la longueur des côtés et la longueur de la hauteur du triangle ABC ainsi que le sinus, le cosinus et la tangente de l'angle $\widehat{\text{B}}$ de ce triangle.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit C le milieu d'un demi-cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB $= 2 R$ et soit M un point quelconque de l'arc $\wideparen{\text{CB}}$.

Le segment [AM] coupe (OC) en D et la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{COM}}$ coupe (AM) en I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'angle $\widehat{\text{CMA}}$ et préciser la nature du triangle CIM.

En déduire que, quel que soit M sur l'arc $\wideparen{\text{CB}}$, les points C, I, O, A sont sur un cercle fixe, que l'on précisera.
\item Établir la relation AD $\cdot$ AM $= 2 R^2$.
\item Montrer que les triangles AOD et CID sont semblables.

En déduire que $\dfrac{\text{ID}}{\text{IM}} = \dfrac{\text{OD}}{\text{OM}} = \tan \widehat{\text{OAD}}$.
\item On suppose que (AM) passe par le milieu, E, de [OC].

Calculer alors AE, AM et MB en fonction de $R$.
\end{enumerate}
\end{document}