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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Barcelone\footnote{Rome, Téhéran et Tel-Aviv} juin 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et ordonner les polynômes

\begin{center}$A(x) = (x - 3)^2 + 9$ \quad et\quad  $B(x) = (x + 3)^2 + 9$.\end{center}

Effectuer le produit $A(x) \times B(x)$.
\item Simplifier l'expression

\[E(x) = \dfrac{1}{(x - 3)^2 + 9} + \dfrac{1}{(x + 3)^2 + 9} - \dfrac{2x^2 + 35}{x^4 + 324}.\]

\item Calculer de deux façons différentes la valeur numérique de $E(x)$ pour $x = 3$.
\item Les équations $A(x) = 0$ et $B(x) = 0$ ont-elles des racines ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit un cercle O de diamètre [AB] ; une droite $xy$ perpendiculaire à (AB) coupe (AB) en H, entre O et B.

Soit M un point quelconque du cercle ; (AM) et (BM) coupent (xy) respectivement en D et E.

Montrer que (AE) est perpendiculaire à (DB).
\item Montrer que les triangles AHD et EHB sont semblables.

En déduire que HA  $\times $ HB = HE $\times $  HD.
\item On suppose, dans tout ce qui suit, que M est milieu de l'arc $\wideparen{\text{AB}}$ et H milieu de [OB].

Nature du quadrilatère ADEO.

Montrer qu'il est inscriptible.
\item Calculer HE, HD, OE, AD en fonction de $R$.
\end{enumerate}
\end{document}