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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Barcelone\footnote{Rome, Téhéran et Tel-Aviv} septembre 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

On considère l'expression
\[y = (5 - 2x)^2 - (3x + 1)^2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $y$ sous la forme d'un polynôme ordonné suivant les puissances croissantes de $x$, puis calculer
sa valeur numérique à $\dfrac{1}{10}$ près par défaut pour
$x = \dfrac{-1}{\sqrt 2 - 1}$.
\item Mettre $y$ sous la forme d'un produit de deux facteurs, puis calculer les valeurs de $x$ pour lesquelles $y = 0$.
\item Les facteurs, $y_1$ et $y_2$ de ce produit sont des fonctions de $x$.

Indiquer les sens de variation de ces fonctions, puis construire leur représentation graphique dans un même système d'axes.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Dans un triangle ABC, la bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ coupe le côté [BC] en D tel que BD $= 3$~cm et, sur le prolongement de [AD], est situé un point M tel que MA $= 9$~cm, MD $= 4$~cm, MB $= 6$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles MBD et MAB.

En déduire la longueur du côté [AB].
\item Montrer que le quadrilatère MBAC est inscriptible ; en déduire que MC = MB.

\item Comparer les triangles MDC et BAD ; en déduire la longueur du segment [DC], puis celle du côté [AC].
\end{enumerate}
\end{document}