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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Barcelone septembre 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en un produit de facteurs l'expression
\[(x - 1)^2 - 4.\]
\item Effectuer 
\[2 (x - 3) (x + 1)\]
 et mettre l'expression
\[y = \dfrac{2x (x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2 - 4} + \dfrac{4\left(x^2 - 2x - 3 \right)}{(x - 3)(x + 1)}\]

sous la forme $y = Ax+ B$, où $A$ et $B$ sont des constantes, que l'on déterminera.
\item Construire la courbe représentative de la fonction

\[y= Ax + B,\]
$A$ et $B$ ayant les valeurs trouvées au 2.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Un triangle rectangle ABC est isocèle : AB = AC $= 2a$;

O est le milieu de [BC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le cercle $\mathcal{C}$ de centre O de rayon $a$ est tangent aux côtés [AB] et [AC] en leurs milieux D et E respectivement.
\item On mène par un point quelconque, T, pris sur l'arc $\widearc{\text{DE}}$ la tangente au cercle $\mathcal{C}$ ; elle rencontre (AB) en M et (AC) en N.

Établir l'égalité des triangles DOM et MOT; en
déduire que $\widehat{\text{MON}} = 45\degres$.
\item Montrer que OBM et ONC sont deux triangles semblables.

En déduire que 
\begin{center}BM $\times $ CN $= 2a^2$.\end{center}

\end{enumerate}
\end{document}