\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Besançon février 1960 },
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1960}
\rfoot{\small Besançon}
\lfoot{\small février 1960}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Besançon février 1960~\decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On considère l'expression
\[E(x) = (3x +1)^2 - (7 - 4x)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Mettre $E(x)$ sous la forme d'un produit de deux facteurs.
\item Les facteurs $y_1$ et $y_2$ de ce produit sont des fonctions de $x$.

Indiquer le sens de variation des fonctions $y_1$ et $y_2$ puis représenter $y_1$ et $y_2$ sur le même graphique.
\item Mettre $E(x) = (3x + 1)^2 - (7 - 4x)^2$ sous la forme d'un polynôme ordonné.

Calculer sa valeur numérique pour $x = 0,\quad  x = \dfrac67, \quad x = -\dfrac12$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Deux cercles de centres O et O$'$, de diamètres respectifs [AB] tel que AB = 12 cm et [BC] tel que BC$ = 6$ cm, sont tangents extérieurement au point B.

On trace une corde [BM] du cercle (O) et l'on mène dans le cercle (O$'$) la corde [BM$'$] perpendiculaire à [BM].

La droite (MM$'$) coupe la droite (ABC) au point I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les cordes [BM] et [CM$'$] sont parallèles ainsi que les rayons [OM] et [O$'$M$'$].
\item Établir la similitude des triangles IOM et IO$'$M$'$ et donner la valeur du rapport de similitude.

Calculer OI et montrer que la position du point I sur le diamètre [ABC] est indépendante de la corde [BM] choisie.
\item On prolonge la corde [MB] jusqu'à sa rencontre en P$'$ avec le cercle (O$'$) et la corde [BM$'$] jusqu'à sa rencontre en P avec le cercle (O).

Montrer que les droites (PM) et (P$'$M$'$) sont deux diamètres parallèles des cercles (O) et (O$'$).

Préciser la position du point d'intersection, J, de la droite PP$'$ et du diamètre [ABC].
\item Que représente le point B dans le triangle MIP ?
\end{enumerate}
\end{document}