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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rfoot{\small{juin 1952}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Besançon juin 1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système :
\[\left\{\begin{array}{l c l r}
2x + y&=&4,\qquad&(1)\\
x + 2y&=&8.\qquad (2)
\end{array}\right.\]

\item Tracer deux axes de coordonnées perpendiculaires $x'$O$x$, $y'$O$y$.

L'unité de longueur sur chacun de ces axes est le centimètre.

Tracer les deux droites $D_1$ et $D_2$ représentant respectivement les équations (1) et (2).

Contrôler à l'aide de ce graphique les résultats de la question 1.
\item $D_1$ et $D_2$ se coupent en T. 

O$x$ coupe $D_1$ en A et $D_2$ en B.

Vérifier que 
\begin{center}$\overline{\text{OT}}^2 =$ OA $\cdot$ OB.\end{center}

Que peut-on en déduire pour le cercle circonscrit au
triangle TAB ?
\item Calculer les longueurs des côtés du triangle TAB.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Dans un cercle de diamètre [AB], une corde [CD] coupe AB perpendiculairement en I.

Le segment AI mesure $18$~mm et la corde [CD] a pour longueur $48$~mm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en millimètres les longueurs IC, ID, lB, AD et BC.
\item Quelle est la nature du quadrilatère convexe KLMN obtenu en joignant les milieux des côtés du quadrilatère ACBD ?

Calculer son aire en centimètres carrés.
\item Soit P l'intersection des droites (AC) et (BD).

Montrer que les triangles APD et BPC sont semblables ; quel est leur rapport de similitude ?

Calculer les longueurs des segments [PA] et [PB] à un millimètre près.
\end{enumerate}
\end{document}