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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Besançon}}
\rfoot{\small{juin 1960}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Besançon juin 1960}}

ENSEIGNEMENT LONG

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Dans un système d'axes de coordonnées rectangulaires $x'\text{O}x, y'\text{O}y$, construire la droite $D$ d'équation $y = \dfrac{3x}{2}$.

Déterminer l'équation de la parallèle à $D$, \: $D'$ menée par le point A(1~;~3).
\item Déterminer l'équation de la droite $S'$ passant par B(2~;~5) et C(6,5~;~2).

Établir l'équation de sa parallèle, $S$, menée par O.
\item Montrer que les droites $D'$ et $S'$ sont perpendiculaires.
\item Déterminer graphiquement et algébriquement les coordonnées du point M d'intersection de $D'$ et $S'$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Par le sommet A de l'angle droit d'un triangle rectangle ABC, on mène une droite D extérieure au triangle sur laquelle B et C se projettent en E et F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles AEB et CFA.
\item En déduire que 
\begin{center}$\dfrac{\text{AE} \times \text{BE}}{\text{AF} \times \text{CF}} = \dfrac{\text{AB}^2}{\text{AC}^2}$\end{center}

[AH] étant la hauteur du triangle ABC, montrer que 
\begin{center}$\dfrac{\text{AE} \times \text{BE}}{\text{AF} \times \text{CF}} = \dfrac{\text{BH}}{\text{CH}}$\end{center}

\item Démontrer que les quadrilatères AEBH et AFCH sont inscriptibles.

Montrer que le triangle EHF est rectangle.
\item Sachant que AB $= 3$~cm, $\widehat{\text{ABC}} = 45\degres$ et $\widehat{\text{BAE}} = 60\degres$, calculer BC, AC, AE, AF et AH à 1~mm près.
\end{enumerate}
\end{document}