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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Besançon juin 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier les fractions rationnelles

\begin{center}$A(x) = \dfrac{4x^2 - 9}{4x^2 + 12x + 9}$\qquad  et\qquad  $B(x) =\dfrac{6x - 2x^2}{4x^2 + 6x}$\end{center}
puis effectuer le quotient $\dfrac{A(x)}{B(x)}$.
\item pour quelles valeurs de $x$ ce quotient est-il nul ou
égal à 1 ?

Quelle est la valeur numérique de ce quotient pour $x = \sqrt 3$ ?
\item Représenter sur le même graphique les variations des fonctions
\begin{center}$y= 2x_ 3$\qquad  et\qquad  $y=- x + 3$.\end{center}

La première droite, $\left(D_1\right)$, coupe l'axe $y'y$ en C ; la deuxième droite,  $\left(D_2\right)$ coupe le même axe en E ; les droites  $\left(D_1\right)$ et  $\left(D_2\right)$ se coupent en I.

Trouver l'équation de la perpendiculaire abaissée de E sur  $\left(D_1\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un triangle isocèle ABC tel que 
\begin{center}AB = AC $= 3a$, \qquad  BC $= 2a$.\end{center}

Soient O le milieu de [BC], M sur [AB] et N sur [AC] tels
que $\widehat{\text{MON}} = \widehat{\text{B}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que BM $\cdot$ CN $= a^2$.
\item Si (MN) est parallèle à (BC), démontrer que les trois
triangles BOM, CNO et OMN sont semblables.

Calculer BM en fonction de $a$.
\item (OA- coupe (MN) (toujours parallèle à (BC)) en H.

Calculer OA, OH, MN et OM en fonction de $a$.
\item Soit la perpendiculaire à (OM) en M ((MN) parallèle à (BC)), qui coupe (OA) en D.

Calculer AD et DH en fonction de $a$.

Qu'est-ce que D pour le triangle AMN ?

Qu'est-ce que D pour le segment [OA] ?
\end{enumerate}
\end{document}