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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1964}
\rfoot{\small Besançon}
\lfoot{\small juin 1964}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Besançon 1964 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer le produit 
\[P(x) = (x + 1)\left(-\dfrac43 +  8\right).\]

Calculer la valeur numérique de $P(x)$ pour $x = 3\sqrt 3$.
\item Pour quelles valeurs de $x$ le produit $P(x)$ s'annule-t-il ?
\item Soient deux axes de coordonnées rectangulaires, $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$, l'unité de longueur étant le centimètre sur les deux axes.

On considère les deux point A$(x = 1, y = 2)$ et B$(x = 5, y = 6)$.

Déterminer l'équation de la droite (AB).

Calculer les coordonnée du milieu, N, du segment [AB].
\item Sur le même graphique, construire la droite représentative de la fonction $y = - \dfrac43 x + 8$.

On donnera les caractères généraux de cette fonction. Montrer que la droite obtenue passe par le point N.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un cercle de centre O et de diamètre [AB]. Par un point H quelconque pris sur [AB], on mène la corde [CD], perpendiculaire à AB. Soit M un point variable sur le petit arc $\wideparen{\text{CB}}$. (CD) coupe (AM) en I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que représente (MA) pour l'angle $\widehat{\text{CMD}}$ ?
\item Montrer que 
\begin{center}AC$^2 = \overline{\text{AH}} \cdot \overline{\text{AB}}$.\end{center}
\item Montrer que le quadrilatère IHBM est inscriptible dans un cercle, dont on précisera la position du centre.

En déduire que
\[\overline{\text{AI}} \cdot \overline{\text{AM}} = \overline{\text{AH}} \cdot \overline{\text{AB}}.\]

\item Quelle est la position de (AC) par rapport au cercle
CIM ; de (AD) par rapport au cercle MID ?
\end{enumerate}
\end{document}