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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Besançon}}
\rfoot{\small{juin  1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Besançon~\decofourright\\[7pt] juin 1971}}
\end{center}
\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser les expressions algébriques suivantes:
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=&x^3 + 3x^2 - (4x + 12)\\
B(x) &=&(x - 2)\left(4x^2 + 4x + 1\right) - (x - 2)^3.
\end{array}\]

\item Former la fraction rationnelle : $F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$.

La simplifier après en avoir donné le domaine de définition.
\item Quelle valeur $F(x)$ prend-elle pour: $x = \dfrac{\sqrt 2}{4}$ ?

En donner une valeur approchée à 1/100 près.
\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on : $F(x) = - \dfrac14$.
\item Dans un système d'axes de coordonnées (O$x$, O$y$), perpendiculaires, l'unité de longueur choisie étant la même pour les deux axes, tracer les droites représentatives des fonctions:
\begin{center}$y = 4x + 8$ \qquad  $y = 3x + 1$.\end{center}

Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de ces droites ?

Quelle remarque peut-on faire en liaison avec la question 4. ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On considère un angle droit $x$O$y$.

On prend sur O$x$ un point A et sur O$y$ un point B tels que OA = OB.

Par A, on trace une droite quelconque qui rencontre (OB) en C entre O et B. 

De B on abaisse la perpendiculaire [BH] sur AC ; (BH) coupe le prolongement de [AO] en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établir que OC = OD.
\item Démontrer que le quadrilatère OCHD est inscriptible dans un cercle dont on précisera le centre.

En déduire que HO est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{DHC}}$.
\item Comparer les triangles OCA et HCB.
\item On suppose que OA = OB $= a$ et OC $= \dfrac a3$.

Calculer, en fonction de $a$, les longueurs des segments [CD], [BC], [AC], [BH].
\end{enumerate}
\end{document}