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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Besançon}
\lfoot{\small juin 1987}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Besançon juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les nombres suivants (on demande les valeur exactes les plus simples possibles et non des valeur approchées ).

\[\dfrac{14}{45} \times \dfrac{27}{49}\:; \quad 3 -\dfrac47 \times \dfrac{5}{2}\: ; \quad  3 - 5 \times \dfrac{1}{10} + 4 \times \dfrac{1}{100}\: ;\quad  \dfrac{2 + \dfrac49}{\dfrac12 - \dfrac23}.\]

\[\dfrac{12 \times 10^5}{0,4 \times 10^2}\:; \quad \sqrt{100 - 36}\: ;\quad 2\sqrt{12} - 4\sqrt{75} + 3\sqrt{27}\:; \quad \left(\sqrt 3 - 2\right)^2.\]

\item Résoudre dans $\R$
	\begin{enumerate}
		\item l'équation: $3x^2-75 = 0$ ;
		\item l'inéquation: $-40x - 75 \leqslant 0$.
	\end{enumerate}
\item Développer $(x - 15)(3x + 5)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un triangle OBD équilatéral de côté
$12$~centimètres.
		\item Tracer la hauteur issue de B, elle coupe le segment [OD] au point A.
		\item Construire le point C pour que ABCD soit un rectangle.
		\item Construire la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{DC}}$ ; elle coupe le segment [AB] au point E.
		
Dans la suite du problème on justifiera chaque réponse.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer en degrés la mesure de l'angle AËD.
		\item Quelle est la nature du triangle AED ?
		\item Calculer en centimètres les longueurs AE et ED.
	\end{enumerate}	
\item Calculer en degrés la mesure des angles du triangle BED.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} (unité 1~cm), on considère la droite $(d)$ d'équation :

\[x - 2y + 3 = 0.\]

\begin{enumerate}
\item Soient les points A$\left(2~;~\dfrac52\right)$, B$(-3~;~1)$, C$\left(6~;~\dfrac92 \right)$ et E$(-1~;~-1)$.

	\begin{enumerate}
		\item Chacun de ces points appartient-il à la droite $(d)$ ? Justifier votre réponse.
		\item Placer les points dans le repère et construire la droite $(d)$.
	\end{enumerate}
\item Soit F le point tel que : $\vect{\text{OF}} = 3\vect{\imath} + \dfrac32\vect{\jmath}$.

Démontrer que le triangle ACF est rectangle en F{}.
\item On considère le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}$.

Déterminer les coordonnées du point G image du point F dans la translation de vecteur $\vect{u}$.
\item On appelle H le milieu du segment [AC].
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point H.
		\item Démontrer que les droites $(d)$ et (OH) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}	
\item Soit K le point tel que $\vect{\text{HK}} = \vect{\text{GH}}$. 

Quelle est la nature du quadrilatère AKCG ?
\item Démontrer que les points A, C, F{}, G et K appartiennent à un même cercle dont on déterminera le centre et le rayon.
\end{enumerate}
\end{document}