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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Besançon septembre 1951~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
Tracer les droites représentatives des fonctions
\begin{center}$y = \dfrac32 x + 3,\qquad  $$y =\dfrac37 x - 2$.\end{center}

Unité graphique : le cm.

La première coupe $xx'$ en M et $yy'$ en A ; la deuxième coupe $xx'$ en B et $yy'$ en I.

Quelles sont les coordonnées de ces quatre points ?
\item Calculer les coordonnées du point C où ces deux droites se coupent.
\item Évaluer l'aire (unité : le cm$^2$) du triangle ABC.
\item Quel rôle joue la droite (AI) à l'égard du triangle ABC ?

Déterminer les coordonnées du centre de gravité de ce triangle.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

On donne un losange ABCD dont l'angle $\widehat{\text{B}}$ mesure $60\degres$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le côté du losange ayant pour mesure $a$, calculer les longueurs des diagonales.
\item Une droite menée par D ne traversant pas le losange coupe la droite (AB) en E et la droite (BC) en F.

Montrer que les triangles ADE et CFD sont semblables.
\item En déduire que AC est moyenne proportionnelle entre AE et CF et que les triangles ACE et CFA sont semblables.
\item  M étant le point commun aux droites (CE) et (AF),
montrer que 
\begin{center}$\overline{\text{CA}}^2 =$ CM $\times$ CE.\end{center}
\item En déduire que si la direction de (EF) varie, le centre
du cercle circonscrit au triangle AME est sur une droite fixe passant par A.
\end{enumerate}
\end{document}