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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lfoot{\small{ Besançon}}
\rfoot{\small{septembre  1952}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Besançon septembre  1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\begin{enumerate}
\item Construire les lignes représentatives de chacune des fonctions :

\[y = x + 4, \quad  y = - \dfrac{2}{3}x - 1, \quad y = - 4x + 9.\]

\item Les trois droites forment un triangle ABC.

Calculer les coordonnées des trois sommets.
\item Par chacun des sommets, on mène la parallèle au côté opposé. 

Trouver les fonctions de la forme
\[y = ax + b\]

pour les variations desquelles les côtés du nouveau triangle formé sont les lignes représentatives.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un demi-cercle de centre O, de
diamètre AB $= 2R$ et un point P sur la tangente en~A.

De P{}, on mène l'autre tangente, PC, qui coupe (AB) en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On suppose que l'angle $\widehat{\text{APC}} = 60\degres$.

Calculer PO, PA, OD en fonction de $R$.
\item L'angle $\widehat{\text{APC}}$ étant un angle aigu quelconque, on trace [OC], qui coupe (PA) en E.

Démontrer que :
	\begin{enumerate}
		\item (PO) est perpendiculaire à (DE);
		\item le triangle PDE est isocèle;
		\item les triangles PAC et PED sont semblables, leur
rapport de similitude étant égal à $ \dfrac{\text{OA}}{\text{OD}}$.
	\end{enumerate}
\item Calculer l'aire de chacun des triangles PAC, PDE, lorsque l'angle $\widehat{\text{APC}} = 60\degres$.
\end{enumerate}
\end{document}