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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lfoot{\small{Besançon}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Besançon juin 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

On considère les expression


\[A =  \dfrac{4x}{3x - x^2}, \qquad B = \dfrac{7x^2}{x^3 + 3x^2}, \qquad C = \dfrac{48}{18 - 2x^2}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Simplifier ces expressions.
\item Calculer 
\[U= A + B - C\]
et montrer que le  résultat peut s'écrire sous la forme
\[U  = \dfrac{3}{3 + x}.\]
\item Résoudre l'équation $\dfrac 1U = 0$.
\item Représenter graphiquement les droites qui ont pour equations $y = \dfrac 1U$ et $y = \dfrac 1B$ et calculer les coordonnées du point d'intersection, M, de ces deux droites.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Soient un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de diamètre [AB] teld que AB $= 2R$
et, sur le prolongement de [AB], au delà de B, un point C tel que BC $= 4R$.

Sur une droite variable passant par A et coupant à nouveau le cercle $\mathcal{C}$ en D, on prend un point M tel que
\begin{center}AM $\times$ AD = AO $\times$ AC.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les triangles ADO et AMC.
\item Quelle particularité présente le quadrilatère ODMC ?
\item Montrer que, lorsque la droite (AD) tourne autour du point A, le point M se déplace sur la médiatrice de [AC].
\item Construire la figure, sachant que $R = 2$~cm et
AM $= 9$~cm, et calculer alors l'aire  du quadrilatère ODMC.
\end{enumerate}

\smallskip

{\small \textbf{N. B. -} La figure doit être construite en vraie grandeur.}
\end{document}