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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Besançon septembre 1976~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Soit l'application $f$ définie dans $\R$ par 
\[\begin{array}{l l c l}
f : &\R &\to& \R,\\
&x &\longmapsto& f(x) = ax^2 + bx - 8 \:(a \in \R, b \in \R).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $a$ et $b$ sachant que $f(- 1)= - 18$ et $f(3) = - 2$.
\item Écrire $f(x)$ en remplaçant $a$ et $b$ par leurs valeurs.

Factoriser $f(x)$.
\item Soit l'application $g$ définie dans $\R$ par
\[\begin{array}{l l c l}
g : &\R &\to& \R,\\
&x &\longmapsto& g(x) = (x - 2)(x - 1)^2 - (x - 2)(x + 2)^2.
\end{array}\]
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $g(x)$ de façon à obtenir un produit de polynômes du premier degré.
		\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $g(x) = 0$.
		
\item Soit $h$ la fonction rationnelle définie dans $\R$ par
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]
	\end{enumerate}
Après avoir donné l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de $h$, simplifier $h(x)$.
\item Résoudre. dans $\R$ les équations $h(x) = 0$ et $h(x) = 1$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $h\left(\sqrt 3\right)$ et rendre rationnel le dénominateur.
		\item Sachant que $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$, donner un encadrement de $16 - 10\sqrt 3$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} on considère les points A (2~;~1) et B(4~;~3).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit le point C$(3~;~x) \:(x \in  \R)$.

Trouver $x$ sachant que les vecteurs $\vect{\text{AC}}$ et $\vect{\text{AB}}$ sont orthogonaux.
\item Trouver les coordonnées du symétrique D de C par rapport à A.
\item Soit le point E(0~;~- 1). Montrer que les points B, A et E sont alignés.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Que représente A pour le bipoint (B, E) ?
		\item Que peut-on dire de C par rapport au segment [EB]?
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $d$(B, C) et $d$(C, E).
		\item Quelle est la nature du quadruplet (D, B, C, E) ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\sin \widehat{\text{ABC}}$.
		\item En déduire $\widehat{\text{ABC}}$ à un degré près par défaut.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}