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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1960}
\rfoot{\small Bordeaux}
\lfoot{\small février 1960}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux février 1960~\decofourright}}

\vspace{1cm}

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\textbf{A. -} Effectuer
\[M = \left(- \dfrac23 ax^2\right)\times \left(\dfrac65 xy^2\right) \times \left(- \dfrac{5}{24}a^2xy^3\right).\]

Calculer la valeur numérique de $M$ pour
\begin{center} $a = - 4,\quad  x = - \dfrac13, \quad , y = + \dfrac32$.\end{center}

\medskip

\textbf{B. -} On donne un système d'axes de coordonnées perpendiculaires $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$ dans lequel on prend le centimètre pour unité.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement les variations de la fonction 
\[y = - \dfrac x2 + 3.\]

La droite obtenue $\left(D_1\right)$ coupe O$x$ en A et O$y$ en B.

Cette droite passe-t-elle par le point C(+ 3~;~+ 2) ? Justifier la réponse.
\item Quelle est l'équation de la droite $\left(D_2\right)$ passant par O et C ?
\item Quelle est la fonction dont les variations sont représentées par la droite $\left(D_3\right)$ menée par B parallèlement à $\left(D_2\right)$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un triangle OAO$'$ rectangle en A.

Les cercles de centres O et O$'$ passant par A se recoupent en B.

La droite (OO$'$) coupe le cercle (O$'$) en C et D et le cercle (O) en E et F.

Les points O, D, E, O$'$ sont placés dans cet ordre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que [AD) est bissectrice de $\widehat{\text{BAO}}$ et que [AE) est bissectrice de $\widehat{\text{BAO}'}$.
\item Montrer que [AE) est bissectrice de $\widehat{\text{CAD}}$ et comparer
les rapports $\dfrac{\text{ED}}{\text{EC}}$ et $\dfrac{\text{OE}}{\text{OC}}$.
\item Montrer que les triangles OAC et ODA sont semblables et établir la relation 
\begin{center}$\overline{\text{OA}}^2 = \overline{\text{OC}} \cdot \overline{\text{OD}}$.\end{center}
\item Comparer les rapports $\dfrac{\text{ED}}{\text{EC}}$ et $\dfrac{\text{OE}}{\text{OC}}$
\end{enumerate}
\end{document}