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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Bordeaux juin 1951~\decofourright}}}

\medskip

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip



\medskip

\begin{enumerate}
\item Première figure. :

Tracer deux axes de coordonnées rectangulaires O$X$ et O$Y$.

Placer sur O$Y$ le point A d'ordonnée + 4 et sur O$X$ le point B d'abscisse $- 3$ (le centimètre est pris pour unité).

Calculer AB.

Calculer l'abscisse du point C de O$X$ tel que le triangle ABC soit isocèle.

On trouvera trois solutions correspondant aux trois cas possibles : AB = AC ; BA = BC ; CA = CB.
\item Deuxième figure.

Tracer deux axes de coordonnées rectangulaires O$X$ et O$Y$.

Placer le point A de coordonnées ($x = 0, y = 4$), le point B de coordonnées $(x = - 3, y= 0)$, et le point C de coordonnées $(x = \dfrac76, y = 0)$ (le centimètre est pris pour unité).
	\begin{enumerate}
		\item Trouver l'abscisse du point D de O$X$ tel que le triangle ABD soit rectangle en A.
		\item Calculer la distance AD et le rapport $\dfrac{\text{AB}}{\text{AD}}$.
		\item Calculer l'abscisse du point E de O$X$ tel que

\[\dfrac{\text{EB}}{\text{ED}} = - \dfrac34.\]

Que dire de la droite (AE) ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Dans un cercle de centre O et de rayon $R$, on trace deux diamètres perpendiculaires [AB] et [CD].

Par le point C, on mène une sécante qui coupe le rayon [OA] en M et le cercle en N ; on trace la tangente au cercle en N.

Soit P le point d'intersection de la tangente en N avec la perpendiculaire au diamètre [AB] en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le quadrilatère OMNP est inscriptible dans un cercle.
\item Démontrer que (OP) est parallèle à (CM) et préciser la nature du quadrilatère OPMC.
\item Trouver le lieu du point P quand M décrit le segment [OA].
\item Dans le cas particulier où M est le milieu de [OA], calculer CM, puis CN.
\end{enumerate}
\end{document}