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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Bordeaux juin 1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

On donne un triangle ABC, rectangle en A, dans lequel 
\begin{center}AB $= 6$~cm,\quad  BC $= 10$~cm, \quad CA $= 8$~cm.\end{center}

Par un point M de l'hypoténuse [BC] on mène la parallèle à (AB), qui coupe (AC) en D, et la parallèle à (AC), qui coupe (AB) en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de BM $= x$  les distances MD et ME.
\item Trouver pour quelle valeur de $x$ on a MD = ME.

Dire dans ce cas la position particulière de la droite (AM).
\item Représenter sur le même graphique les variations
des deux fonctions de $x$ :
\begin{center}$y_1 =$ MD,\qquad et\qquad $y_2 =$ ME\end{center}

quand le point M décrit seulement le segment [BC], de B vers C.

Calculer exactement les coordonnées du point commun aux deux courbes représentatives.
\item Trouver pour quelle valeur de $x$ on a
\[\overline{\text{BM}}^2 = \overline{\text{MO}}^2 + \overline{\text{ME}}^2.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un triangle ABC. D'un point D de [AB] on trace la parallèle à (BC), qui coupe (AC) en E, et la parallèle menée de C à (AB) en K.

Enfin (BK) rencontre (AC) en I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comment doit on choisir le point D sur [AB] (ou sur son prolongement) pour que [BK) soit la bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ du triangle ABC ?
\item Démontrer que si l'on choisit O au milieu de [AB] le
segment [IC]  a une longueur double de celle du segment [IE].
\item D étant un point quelconque de [AB], comparer les rapports $\dfrac{\text{IC}}{\text{IE}},\:\dfrac{\text{IA}}{\text{IC}}$ 
 au rapport $\dfrac{\text{IB}}{\text{IK}}$.

Démontrer que 
\begin{center}$\overline{\text{IC}}^2 =$ IE $\times $ IA\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}