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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1959}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux juin 1959 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

On considère un rectangle dont le périmètre exprimé en mètres est mesuré par le nombre $2p$.

Si l'on augmente la longueur de $8$~m et la largeur de $5$~m, l'aire du rectangle augmente de $180$ mètres carrés.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur et la largeur du rectangle dans le cas où le périmètre $2p$ est égal à $44$~mètres.
\item Calculer la longueur et la largeur du rectangle en prenant $2p$ comme valeur du périmètre.

Entre quelles valeurs doit être compris le nombre $p$ pour que le problème soit possible ?

Examiner ce qui se passe quand $p$ prend l'une ou l'autre de ces valeurs limites ?

\item Construire la droite représentative de l'une de dimensions, en fonction de l'autre et du périmètre

Comparer les résultats obtenus.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soient deux droites perpendiculaires $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$ se coupant en O.

On prend sur $x'\text{O}x$ de part et d'autre de O, les segments [OA] tel que  OA $= 4$~cm, [OB] tel que OB $= 2$~cm.

On trace la médiatrice de [AB] coupant [AB] en H.

Soit M un point quelconque de cette médiatrice on trace (MA) et (MB), qui coupent respectivement O$y$ en C et D.

On appelle E le milieu de [C], F le milieu de [DB].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles MAB, BOF, OEA sont semblables.

Donner la valeur numérique de rapports de similitude.
\item Démontrer que le quadrilatère EOFM est un parallélogramme. 
\item On joint E et F et l'on prolonge jusqu'à sa rencontre en P avec $x'\text{O}x$.

Évaluer le rapport $\dfrac{\text{PO}}{\text{PA}}$.

Calculer PO.

Que peut-on dire des droites (EF) obtenues quand M se déplace sur la médiatrice ?
\item On choisit M de telle façon que HM $= 3$~cm.

Quelle est alors la nature du quadrilatère EOFM, la 
longueur de ses côtés et la mesure de sa surface?
\end{enumerate}
\end{document}