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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Bordeaux}}
\rfoot{\small{juin 1960}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Bordeaux juin 1960}}

ENSEIGNEMENT LONG

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en un produit de facteurs l'expression

\[E(x) = (3x - 4)\left(\dfrac13 x + 8\right)^2- \left(\dfrac13 x - 1\right)^2(3x - 4)\]

et utiliser le résultat pour résoudre l'équation $E(x) = 0$.
\item Simplifier la fraction rationnelle

\[F(x) = \dfrac{(3x - 4)\left(\dfrac13 x + 8\right)^2- \left(\dfrac13 x - 1\right)^2(3x - 4)}{9 \left(49 - \dfrac49 x^2\right)}.\]

\item 

Représenter graphiquement les droites $D_1$ et $D_2$ ayant respectivement pour équation 
\begin{center}$y = 3x - 4$\qquad  et \qquad $y = - \dfrac23 x + 7$.\end{center}

Quelles sont les coordonnées du point d'intersection A de ces deux droites ?

Vérifier le résultat par le calcul.
\item  Les droites $D_1$ et $D_2$ coupent l'axe $y'y$ respectivement en B et D.

Compléter le parallélogramme ABCD dont une diagonale est [BD].

Former l'équation de la droite (BC) et celle de la hauteur [AH] du parallélogramme.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit [AB] un diamètre d'un cercle donné de centre O et de rayon $R$.

Par le point C du rayon [OB] tel que AC $= \dfrac 43 R$, on mène la perpendiculaire au diamètre [AB] ; elle coupe le cercle en D.

La perpendiculaire menée du centre O du cercle à la corde [AD] coupe (AD) en H et la droite (DC) en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que (DO) est perpendiculaire à (AE).

Quelle est la forme des triangles DOA et DEA ?

Évaluer le rapport $\dfrac{\text{EC}}{\text{EA}}$.
\item Calculer en fonction de $R$ les longueurs DC, DA et DH.

Montrer que les triangles DHE et DCA sont semblables.

En déduire la valeur de DE.
\item Démontrer que les quadrilatères OCDH et AECH sont inscriptibles.

Préciser la position des centres I et J des circonférences circonscrites.

Comparer les rayons [IH] et [JH] respectivement à $R$ et DE.
\item En utilisant le triangle DAC, donner la valeur du sinus et de la tangente de l'angle $\widehat{\text{DAC}}$.
\end{enumerate}
\end{document}