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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Bordeaux juin 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Le périmètre d'un triangle est $18$~cm. 

On désigne par $x$ la longueur de l'un des côtés. Les longueurs $y$ et $z$ des deux autres côtés sont proportionnelles à $4$ et à $5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'unité étant le centimètre, calculer $y$ et $z$ par rapport à $x$.

\emph{Réponses }: $y= 8- \dfrac49 x$ et $z = 10 - \dfrac59 x$.
\item Calculer la somme $y + z$ et la différence $z - y$ et montrer que, pour que le triangle de côtés $x, y$ et $z$ puisse être construit, il faut et il suffit que la valeur de $x$ soit comprise entre $1,8$~cm et $9$~cm.
\item Construire, rapportées à un même système d'axes, les courbes représentatives des variations des longueurs $y$ et $z$ en fonction de $x$.
\item Former l'équation du second degré en x qui exprimerait que le triangle est rectangle, $z$ étant la longueur de l'hypoténuse.

Les candidats qui ne sauraient pas résoudre une telle équation vérifieront que $4,5$ en est une solution.

Calculer alors $y$ et $z$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Trois points, A, B et C, pris dans cel ordre sur une droite $(D)$, sont tels que AB $= 2a$, BC $= a$.

Une droite passant par A coupe respectivement en M et N les perpendiculaires à $(D)$ menées par B et C.

On pose BM $= x$, CN $= y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle relation simple lie $x$ et $y$ ?

(Cette relation sera utilisée dans la suite du problème; vérifiez-la soigneusement.)

Les trois autres questions peuvent être traitées dans un ordre quelconque.
\item Les triangles ACN et CMN peuvent-ils être semblables ?

(Les sommets homologues sont désignés dans le même ordre.)

Par quelle construction géométrique simple préciseriez-vous alors la position du point M ?

Calculez $x$.
vCalculez $y$ pour que le triangle ABN soit isocèle.

Quelle est alors la valeur de l'angle $\widehat{\text{B}}$ de ce triangle ?

\item Calculez $x$ pour que MN $= x + y$.

On utilisera le triangle ABM.

$\left(\text{Réponse : }\: x = \dfrac{a\sqrt 6}{6}\right)$.

Calculez alors MN ; vérifiez que $xy = \dfrac{a^2}{4}$.
\end{enumerate}
\end{document}