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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Bordeaux}
\lfoot{\small juin 1976}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Bordeaux juin 1976 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

On donne l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par 
\[x \longmapsto f(x)= (3 -x)^2 - (2x - 5)(3 - x) +(2x - 6)(x + 1)\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une fonction polynôme de degré 2.
\item Écrire $f(x)$ sous forme d'un produit de deux polynômes du premier degré.
\item On considère la fonction rationnelle $F$, telle que 
\[F(x) = \dfrac{5x^2 - 21x + 18}{(- 5x + 6)(2x + 1)}\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}$, de $F$.
		\item Simplifier $F(x)$ et noter $F'(x)$ l'expression simplifiée.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $F(x) = 1$.
		\item Calculer $F\left(\sqrt 2\right)$.
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire dans le plan rapporté à un repère
\Oij{} les représentations graphiques $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ des
fonctions affines $g_1$ et $g_2$ définies par
\[\begin{array}{l l c l}
g_1 :& x& \longmapsto &g_1(x) = - x + 3\\
g_2 :& x& \longmapsto &g_2(x) = 2x +1.
\end{array}\]
		\item Calculer les coordonn6es du point d'intersection M de$\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.
		
Que représente l'abscisse du point M ?
	\end{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $F'(x)\geqslant 0$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans un plan $(P)$ muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les points A, B et C qui ont pour coordonnées respectives 
\begin{center}A$(- 2~;~1)$, \qquad  B(1~;~3)\quad  et \quad C$(5~;~- 3)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances de A à B, de A à C et de B à C.

Quelle est la nature du triangle (A, B, C) ?
\item Si l'on prend $3,60 < \sqrt{13} < 3,61$ et $2,33 < \sqrt 5 < 2,34$ donner un encadrement, à une unité près, du périmètre de ce triangle.
\item Déterminer les coordonnées des points M et N milieux respectifs des côtés [AC] et [BC].

Quelle est l'intersection de la droite (BC) et de l'axe de repère $\left(\text{O},~\vect{\imath}\right)$ ?
\item Après avoir déterminé les coordonnées du point Q, intersection de la droite (MN) et de l'axe de repère $\left(\text{O},~\vect{\jmath}\right)$, montrer que Q est le symétrique de N par rapport à M.
\item Montrer que le quadruplet (A, B. N. Q) est un carré.
\end{enumerate}
\end{document}